En reportant dans la première et dans la dernière équation, on en tire x 2 et x 4 :
−3x 2 = −3u 1 − 6x 1 = 2u 1 + 4u 2 + 3u 3 + 2u 4 + u 5
−3x 4 = −3u 5 − 6x 5 = u 1 + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 + 2u 5
−6x 3 = 3u 3 − 3x 2 − 3x 4 = 3u 1 + 6u 2 + 9u 3 + 6u 4 + 3u 5 .
L’inverse de la matrice A est donc A
−1 = − 1
6
⎡
⎢
⎢
⎣
5 4 3 2 1
4 8 6 4 2
3 6 9 6 3
2 4 6 8 4
1 2 3 4 5
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Un exemple numérique. On fait cinq mesures d’accélération, une toute les vingt
secondes : ces mesures sont donc effectuées aux instants t i = 20i, où i = 1, . . . , 5. On
a h = 20, n = 6 et T = nh = 120. Voici les valeurs mesurées (γ i est en ms
−2 ) :
t i
20
40
60
80
100
γ i × 10
3
2,44
1,20 −0,03 −1,27 −2,51
Si les positions initiales et finales (exprimées en mètre) sont x(0) = x 0 = 0 et
x(T ) = x 6 = 1, alors les valeurs approchées x 1 , x 2 , . . . , x 5 sont données par
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
⎤
⎥
⎥
⎦ = A
−1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
h
2 γ 1 − 0
h
2 γ 2
h
2 γ 3
h
2 γ 4
h
2 γ 5 − 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎣
−0, 63
−0, 27
0, 56
1, 38
1, 69
⎤
⎥
⎥
⎦
La figure 1 ci-dessous montre la ligne polygonale des points (t i ,x i ) pour i = 0,2,. . .,6.
Sur la figure 2, on propose une courbe t →x(t) deux fois dérivable ayant la même allure.
0.5
0
0.5
1
1.5
0.2
0.6 0.8 1
−
figure 1
0.5
0
0.5
1
1.5
0.2
0.6 0.8 1
−
figure 2
Cas général. Pour n quelconque, la matrice du système (S) est
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−2 1 0 0 · · · 0
1 −2 1 0 · · · 0
0 1 −2 1 · · · 0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
· · · 1 −2 1
0
· · · 0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 143