est très proche de h
2 x
(t i ) = h
2 γ i . On aura donc une bonne approximation des
x i = x(t i ) en résolvant les égalités
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 0 − 2x 1 + x 2 = h
2 γ 1
x 1 − 2x 2 + x 3 = h
2 γ 2
x 2 − 2x 3 + x 4 = h
2 γ 3
. . .
. . .
x n−2 − 2x n−1 + x n = h
2 γ n−1
Détermination des solutions. Une fonction f n’est pas déterminée par sa dérivée seconde : en effet, si a et b sont des nombres quelconques, la fonction t → g(t) =
f (t)+at+b a pour dérivée seconde g
=f
. Pour déterminer g, on peut fixer sa valeur
en deux points : si l’on connaît g(u) et g(v), où u = v, les égalités au + b = g(u) − f (u)
et av + b = g(v) − f (v) permettent en effet de calculer les nombres a et b.
Dans notre cas, donnons-nous les valeurs x 0 = x(0) et x n = x(T ) aux bords de
l’intervalle [0, T ]. Pour n = 6, le système d’équations s’écrit
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 2x 1 + x 2 = h
2 γ 1 − x 0
x 1 − 2x 2 + x 3 = h
2 γ 2
x 2 − 2x 3 + x 4 = h
2 γ 3
x 3 − 2x 4 + x 5 = h
2 γ 4
x 4 − 2x 5 = h
2 γ 5 − x 6
Résolution. La matrice du système est A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−2 1 0 0 0
1 −2 1 0 0
0 1 −2 1 0
0 0 1 −2 1
0 0 0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ . Ses coefficients
non nuls sont concentrés sur la diagonale et de part et d’autre de celle-ci ; de plus,
parallèlement à la diagonale, les coefficients sont égaux. Une telle matrice est dite
tridiagonale. Calculons l’inverse de A en résolvant le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 2x 1 + x 2
= u 1
x 1 − 2x 2 + x 3
= u 2
x 2 − 2x 3 + x 4
= u 3
x 3 − 2x 4 + x 5 = u 4
x 4 − 2x 5 = u 5
En multipliant par 5 la première équation, par 4 la deuxième, etc, et en ajoutant
toutes les équations, les inconnues x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 s’éliminent et l’on obtient simplement
−6x 1 = 5u 1 + 4u 2 + 3u 3 + 2u 4 + u 5 .
De même, en multipliant la dernière équation par 5, l’avant-dernière par 4, etc, et
en ajoutant, il vient
−6x 5 = u 1 + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 + 5u 5 .
142 – MATRICES
2 x
(t i ) = h
2 γ i . On aura donc une bonne approximation des
x i = x(t i ) en résolvant les égalités
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 0 − 2x 1 + x 2 = h
2 γ 1
x 1 − 2x 2 + x 3 = h
2 γ 2
x 2 − 2x 3 + x 4 = h
2 γ 3
. . .
. . .
x n−2 − 2x n−1 + x n = h
2 γ n−1
Détermination des solutions. Une fonction f n’est pas déterminée par sa dérivée seconde : en effet, si a et b sont des nombres quelconques, la fonction t → g(t) =
f (t)+at+b a pour dérivée seconde g
=f
. Pour déterminer g, on peut fixer sa valeur
en deux points : si l’on connaît g(u) et g(v), où u = v, les égalités au + b = g(u) − f (u)
et av + b = g(v) − f (v) permettent en effet de calculer les nombres a et b.
Dans notre cas, donnons-nous les valeurs x 0 = x(0) et x n = x(T ) aux bords de
l’intervalle [0, T ]. Pour n = 6, le système d’équations s’écrit
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 2x 1 + x 2 = h
2 γ 1 − x 0
x 1 − 2x 2 + x 3 = h
2 γ 2
x 2 − 2x 3 + x 4 = h
2 γ 3
x 3 − 2x 4 + x 5 = h
2 γ 4
x 4 − 2x 5 = h
2 γ 5 − x 6
Résolution. La matrice du système est A =
⎡
⎢
⎢
⎣
−2 1 0 0 0
1 −2 1 0 0
0 1 −2 1 0
0 0 1 −2 1
0 0 0 1 −2
⎤
⎥
⎥
⎦ . Ses coefficients
non nuls sont concentrés sur la diagonale et de part et d’autre de celle-ci ; de plus,
parallèlement à la diagonale, les coefficients sont égaux. Une telle matrice est dite
tridiagonale. Calculons l’inverse de A en résolvant le système
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
− 2x 1 + x 2
= u 1
x 1 − 2x 2 + x 3
= u 2
x 2 − 2x 3 + x 4
= u 3
x 3 − 2x 4 + x 5 = u 4
x 4 − 2x 5 = u 5
En multipliant par 5 la première équation, par 4 la deuxième, etc, et en ajoutant
toutes les équations, les inconnues x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 s’éliminent et l’on obtient simplement
−6x 1 = 5u 1 + 4u 2 + 3u 3 + 2u 4 + u 5 .
De même, en multipliant la dernière équation par 5, l’avant-dernière par 4, etc, et
en ajoutant, il vient
−6x 5 = u 1 + 2u 2 + 3u 3 + 4u 4 + 5u 5 .
142 – MATRICES