Ces propriétés montrent que les transformations affines bijectives de R
n forment un
groupe de transformations. Ce groupe s’appelle le groupe affine.
Transformations linéaires. Considérons seulement les transformations de R
n
de la forme X → AX , où A est une matrice inversible. On dit que ce sont des transformations linéaires. La composée de deux transformations linéaires de R
n est une
transformation linéaire et la transformation réciproque de X → AX est Y → A
−1 Y .
Les transformations de la forme X → AX , où A est une matrice inversible, forment
donc aussi un groupe de transformations de R
n .
1.6 Exemple d'application : un intégrateur numérique
Le problème. Pour repérer le déplacement d’une pièce en mouvement sur un
axe, on l’équipe d’un accéléromètre à inertie permettant de mesurer son accélération
pendant l’intervalle de temps [0, T ]. Les mesures ont lieu à intervalles réguliers,
c’est-à-dire aux instants t 1 = T /n, t 2 = 2T /n, . . ., t n−1 = (n−1)T /n, t n = T . Soit γ i
l’accélération mesurée à l’instant t i .
La position de la pièce sur son axe est déterminée à tout instant t par son abscisse
x(t). On dispose ainsi des nombres x
(t i ) = γ i et l’on cherche l’allure de la fonction
t → x(t). Il s’agit donc « d’intégrer deux fois » la fonction t → x
(t) dont on ne
connaît que les valeurs aux instants t i .
Approximation de la dérivée seconde. Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle. Pour tout t ∈]a,b[, on a la formule de Taylor-Young (page 301)
f (t + h) − f (t) = hf
(t) + h
2
2
f
(t) + o(h
2 )
où o(h
2 ) désigne une quantité négligeable devant h
2 quand h tend vers 0. En
remplaçant h par −h, il vient
f (t − h) − f (t) = −hf
(t) + h
2
2
f
(t) + o(h
2 )
et en ajoutant ces deux égalités, on obtient
f (t − h) − 2f (t) + f (t + h) = h
2 f
(t) + o(h
2 ) .
Ainsi le rapport
f (t − h) − 2f (t) + f (t + h)
h
2
tend vers f
(t) quand h tend vers 0.
Pour h assez petit, le nombre 1
h
2
f (t−h) − 2f (t) + f (t+h)
est donc une bonne
approximation de f
(t).
Un procédé d'intégration numérique. Utilisons cette approximation pour évaluer les x(t i ). Prenons h = T /n. Si n est assez grand, alors pour i = 1, 2, . . . , n − 1,
le nombre
x(t i −h) − 2x(t i ) + x(t i +h) = x(t i−1 ) − 2x(t i ) + x(t i+1 )
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 141
n forment un
groupe de transformations. Ce groupe s’appelle le groupe affine.
Transformations linéaires. Considérons seulement les transformations de R
n
de la forme X → AX , où A est une matrice inversible. On dit que ce sont des transformations linéaires. La composée de deux transformations linéaires de R
n est une
transformation linéaire et la transformation réciproque de X → AX est Y → A
−1 Y .
Les transformations de la forme X → AX , où A est une matrice inversible, forment
donc aussi un groupe de transformations de R
n .
1.6 Exemple d'application : un intégrateur numérique
Le problème. Pour repérer le déplacement d’une pièce en mouvement sur un
axe, on l’équipe d’un accéléromètre à inertie permettant de mesurer son accélération
pendant l’intervalle de temps [0, T ]. Les mesures ont lieu à intervalles réguliers,
c’est-à-dire aux instants t 1 = T /n, t 2 = 2T /n, . . ., t n−1 = (n−1)T /n, t n = T . Soit γ i
l’accélération mesurée à l’instant t i .
La position de la pièce sur son axe est déterminée à tout instant t par son abscisse
x(t). On dispose ainsi des nombres x
(t i ) = γ i et l’on cherche l’allure de la fonction
t → x(t). Il s’agit donc « d’intégrer deux fois » la fonction t → x
(t) dont on ne
connaît que les valeurs aux instants t i .
Approximation de la dérivée seconde. Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle. Pour tout t ∈]a,b[, on a la formule de Taylor-Young (page 301)
f (t + h) − f (t) = hf
(t) + h
2
2
f
(t) + o(h
2 )
où o(h
2 ) désigne une quantité négligeable devant h
2 quand h tend vers 0. En
remplaçant h par −h, il vient
f (t − h) − f (t) = −hf
(t) + h
2
2
f
(t) + o(h
2 )
et en ajoutant ces deux égalités, on obtient
f (t − h) − 2f (t) + f (t + h) = h
2 f
(t) + o(h
2 ) .
Ainsi le rapport
f (t − h) − 2f (t) + f (t + h)
h
2
tend vers f
(t) quand h tend vers 0.
Pour h assez petit, le nombre 1
h
2
f (t−h) − 2f (t) + f (t+h)
est donc une bonne
approximation de f
(t).
Un procédé d'intégration numérique. Utilisons cette approximation pour évaluer les x(t i ). Prenons h = T /n. Si n est assez grand, alors pour i = 1, 2, . . . , n − 1,
le nombre
x(t i −h) − 2x(t i ) + x(t i +h) = x(t i−1 ) − 2x(t i ) + x(t i+1 )
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 141