En particulier, si une matrice symétrique est inversible, son inverse est symétrique.
Exemples de matrices inversibles
Pour la matrice A =
a p q
0 b r
0 0 c
, l’équation linéaire AX = 0 s’écrit
⎧
⎨
⎩
ax + py + qz = 0
by + rz = 0
cz = 0
.
® Supposons que les coefficients diagonaux a, b, c sont tous différents de 0. La dernière équation donne z = 0 ; la deuxième s’écrit alors by = 0, donc y = 0 et la
première s’écrit ax = 0, donc x = 0. On en déduit que la matrice A est inversible.
® Si par exemple b = 0, alors dans la résolution, peut choisir y quelconque : il y a
donc d’autres solutions que le vecteur nul. Il s’ensuit que la matrice A n’est pas
inversible. De même, si c = 0 ou si a = 0, la matrice n’est pas inversible.
Définition
Une matrice carrée est dite triangulaire (supérieure) si tous les coefficients situés
strictement en-dessous de la diagonale sont égaux à 0.
Comme dans l’exemple ci-dessus, on démontre le résultat suivant.
Proposition. Une matrice carrée triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous différents de 0. L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure
(ou inférieure) est triangulaire supérieure (ou inférieure).
Exemple. La matrice A =
⎡
⎣
1 0 0 0
2 x 0 0
a 4 x 0
0 3 b y
⎤
⎦ est inversible si et seulement si xy = 0.
D’après la proposition, une matrice diagonale diag(a 1 , a 2 , . . . , a n ) est inversible si et
seulement si les a i sont tous différents de 0 ; dans ce cas, on a
diag(a 1 , a 2 , . . . , a n )
−1 = diag(1/a 1 , 1/a 2 , . . . , 1/a n ) .
Calcul de l'inverse d'une matrice
Pour calculer l’inverse d’une matrice inversible A, on résout le système linéaire
A
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ =
⎡
⎣
u 1
. . .
u n
⎤
⎦ , où les coefficients u 1 , . . . , u n sont des lettres : puisque la solution
est X = A
−1 U , les coefficients de A
−1 sont ceux qui expriment les x i au moyen de
u 1 , . . . , u n .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 139
Exemples de matrices inversibles
Pour la matrice A =
a p q
0 b r
0 0 c
, l’équation linéaire AX = 0 s’écrit
⎧
⎨
⎩
ax + py + qz = 0
by + rz = 0
cz = 0
.
® Supposons que les coefficients diagonaux a, b, c sont tous différents de 0. La dernière équation donne z = 0 ; la deuxième s’écrit alors by = 0, donc y = 0 et la
première s’écrit ax = 0, donc x = 0. On en déduit que la matrice A est inversible.
® Si par exemple b = 0, alors dans la résolution, peut choisir y quelconque : il y a
donc d’autres solutions que le vecteur nul. Il s’ensuit que la matrice A n’est pas
inversible. De même, si c = 0 ou si a = 0, la matrice n’est pas inversible.
Définition
Une matrice carrée est dite triangulaire (supérieure) si tous les coefficients situés
strictement en-dessous de la diagonale sont égaux à 0.
Comme dans l’exemple ci-dessus, on démontre le résultat suivant.
Proposition. Une matrice carrée triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous différents de 0. L’inverse d’une matrice triangulaire supérieure
(ou inférieure) est triangulaire supérieure (ou inférieure).
Exemple. La matrice A =
⎡
⎣
1 0 0 0
2 x 0 0
a 4 x 0
0 3 b y
⎤
⎦ est inversible si et seulement si xy = 0.
D’après la proposition, une matrice diagonale diag(a 1 , a 2 , . . . , a n ) est inversible si et
seulement si les a i sont tous différents de 0 ; dans ce cas, on a
diag(a 1 , a 2 , . . . , a n )
−1 = diag(1/a 1 , 1/a 2 , . . . , 1/a n ) .
Calcul de l'inverse d'une matrice
Pour calculer l’inverse d’une matrice inversible A, on résout le système linéaire
A
⎡
⎣
x 1
. . .
x n
⎤
⎦ =
⎡
⎣
u 1
. . .
u n
⎤
⎦ , où les coefficients u 1 , . . . , u n sont des lettres : puisque la solution
est X = A
−1 U , les coefficients de A
−1 sont ceux qui expriment les x i au moyen de
u 1 , . . . , u n .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 139