Définition
Soit A une matrice carrée de taille n. On dit que A est inversible s’il existe une
matrice carrée C telle que CA = I n (ou s’il existe une matrice carrée C telle que
AC = I n ). La matrice C se note A
−1 et s’appelle l’inverse de A.
Si A ∈ M n (K) est une matrice inversible, on a donc les égalités AA
−1 = A
−1 A = I n .
Il s’ensuit que l’inverse de la matrice A
−1 est A : on a (A
−1 )
−1 = A.
Proposition. Soit A une matrice carrée de taille n.
i) Si la matrice A est inversible, alors pour tout vecteur-colonne U ∈ K
n , l’équation AX = U
a pour unique solution X = A
−1 U .
ii) La matrice A est inversible si et seulement si rg A = n.
iii) La matrice A est inversible si et seulement si l’équation AX = 0 a pour seule solution
le vecteur nul.
Démonstration. Supposons que A est inversible. Soient X et U des vecteurs-colonne de
K
n . Si AX = U , alors il vient X = I n X = (A
−1 A)X = A
−1 (AX) = A
−1 U . Réciproquement,
si X = A
−1 U , alors AX = AA
−1 U = I n U = U , d’où (i). Il s’ensuit que si A est inversible,
alors l’équation AX = 0 a pour seule solution X = A
−1 0 = 0. D’après les résultats du chapitre
précédent, le rang de A est n.
Supposons réciproquement que rg A = n. Alors pour tout vecteur colonne U ∈ K
n , l’équation
AX = U a une unique solution (résultat 3 (c) page 114). Il y a donc des vecteurs-colonne C i
tels que AC i = E i . Soit C = [ C 1 C 2 · · · C n ] la matrice carrée de colonnes C 1 ,C 2 ,. . .,C n . Par
définition du produit de matrices, les colonnes de AC sont AC 1 , AC 2 , . . . , AC n , c’est-à-dire
E 1 , E 2 , . . . , E n : on a donc AC = I n et d’après la proposition précédente, la matrice A est
inversible, d’inverse C . Cela montre (ii). Enfin, on sait que le rang de A est n si et seulement
si l’équation AX = 0 a pour seule solution X = 0, d’où (iii).
Connaître l’inverse d’une matrice inversible A permet de résoudre tous les systèmes
linéaires AX = U , quel que soit le vecteur-colonne U .
Propriétés des matrices inversibles
Soient A, B, C des matrices carrées de même taille.
i) Supposons A inversible. Si AB = AC , ou si BA = CA, alors B = C : on peut
simplifier par une matrice inversible.
ii) Si A et B sont des matrices inversibles, alors la matrice produit AB est inversible
et (AB)
−1 = B
−1 A
−1 .
iii) Si A est inversible, alors
t A est inversible et l’on a (
t A)
−1 =
t (A
−1 ).
Démonstration. Supposons A inversible et de taille n. Si AB = AC , alors en multipliant à
gauche par la matrice A
−1 , il vient A
−1 AB = A
−1 AC , c’est-à-dire B = C puisque A
−1 A = I n .
Si A et B sont inversibles, alors (B
−1 A
−1 )(AB) = B
−1 (A
−1 A)B = B
−1 I n B = B
−1 B = I n ,
d’où (ii). On a aussi
t (A
−1 )
t A =
t (AA
−1 ) =
t I n = I n , ce qui montre (iii).
138 – MATRICES
Soit A une matrice carrée de taille n. On dit que A est inversible s’il existe une
matrice carrée C telle que CA = I n (ou s’il existe une matrice carrée C telle que
AC = I n ). La matrice C se note A
−1 et s’appelle l’inverse de A.
Si A ∈ M n (K) est une matrice inversible, on a donc les égalités AA
−1 = A
−1 A = I n .
Il s’ensuit que l’inverse de la matrice A
−1 est A : on a (A
−1 )
−1 = A.
Proposition. Soit A une matrice carrée de taille n.
i) Si la matrice A est inversible, alors pour tout vecteur-colonne U ∈ K
n , l’équation AX = U
a pour unique solution X = A
−1 U .
ii) La matrice A est inversible si et seulement si rg A = n.
iii) La matrice A est inversible si et seulement si l’équation AX = 0 a pour seule solution
le vecteur nul.
Démonstration. Supposons que A est inversible. Soient X et U des vecteurs-colonne de
K
n . Si AX = U , alors il vient X = I n X = (A
−1 A)X = A
−1 (AX) = A
−1 U . Réciproquement,
si X = A
−1 U , alors AX = AA
−1 U = I n U = U , d’où (i). Il s’ensuit que si A est inversible,
alors l’équation AX = 0 a pour seule solution X = A
−1 0 = 0. D’après les résultats du chapitre
précédent, le rang de A est n.
Supposons réciproquement que rg A = n. Alors pour tout vecteur colonne U ∈ K
n , l’équation
AX = U a une unique solution (résultat 3 (c) page 114). Il y a donc des vecteurs-colonne C i
tels que AC i = E i . Soit C = [ C 1 C 2 · · · C n ] la matrice carrée de colonnes C 1 ,C 2 ,. . .,C n . Par
définition du produit de matrices, les colonnes de AC sont AC 1 , AC 2 , . . . , AC n , c’est-à-dire
E 1 , E 2 , . . . , E n : on a donc AC = I n et d’après la proposition précédente, la matrice A est
inversible, d’inverse C . Cela montre (ii). Enfin, on sait que le rang de A est n si et seulement
si l’équation AX = 0 a pour seule solution X = 0, d’où (iii).
Connaître l’inverse d’une matrice inversible A permet de résoudre tous les systèmes
linéaires AX = U , quel que soit le vecteur-colonne U .
Propriétés des matrices inversibles
Soient A, B, C des matrices carrées de même taille.
i) Supposons A inversible. Si AB = AC , ou si BA = CA, alors B = C : on peut
simplifier par une matrice inversible.
ii) Si A et B sont des matrices inversibles, alors la matrice produit AB est inversible
et (AB)
−1 = B
−1 A
−1 .
iii) Si A est inversible, alors
t A est inversible et l’on a (
t A)
−1 =
t (A
−1 ).
Démonstration. Supposons A inversible et de taille n. Si AB = AC , alors en multipliant à
gauche par la matrice A
−1 , il vient A
−1 AB = A
−1 AC , c’est-à-dire B = C puisque A
−1 A = I n .
Si A et B sont inversibles, alors (B
−1 A
−1 )(AB) = B
−1 (A
−1 A)B = B
−1 I n B = B
−1 B = I n ,
d’où (ii). On a aussi
t (A
−1 )
t A =
t (AA
−1 ) =
t I n = I n , ce qui montre (iii).
138 – MATRICES