Rappelons que les solutions du système linéaire AX = 0 forment un sous-espace
vectoriel de K
n de dimension n − r, où r est le rang du système (page 116).
Définition
Soit A une matrice à p lignes et n colonnes. Le rang du système linéaire AX = 0
s’appelle le rang de A et se note rg A.
Lorsqu’on résout un système linéaire par la méthode de Gauss, on pratique sur les coefficients des équations les opérations qui permettent d’échelonner les vecteurs-ligne
de la matrice du système. À la fin, on obtient r vecteurs-ligne indépendants, où r
est le rang du système. Puisque r vecteurs indépendants engendrent un sous-espace
vectoriel de dimension r, on en déduit :
le rang d’une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel
engendré par les vecteurs-ligne.
D’après la propriété 3 page 121, on a aussi le théorème fondamental suivant.
Théorème. Le rang d’une matrice à p lignes est la dimension du sous-espace vectoriel
de K
p engendré par les vecteurs-colonne.
Conséquence : pour calculer le rang d’une matrice, on peut échelonner les
vecteurs-ligne ou bien échelonner les vecteurs-colonne.
1.4 Matrices inversibles
Proposition. Soit A une matrice carrée de taille n. Pour toute matrice carrée C de
taille n, on a l’équivalence CA = I n ⇐⇒ AC = I n . De plus, s’il existe une telle matrice
C , elle est unique.
Démonstration. Supposons que C est une matrice carrée de taille n telle que CA = I n . Si X
est un vecteur-colonne de K
n tel que AX =0, alors il vient X =I n X =(CA)X =C(AX)=C0=0.
L’équation AX = 0 a donc pour seule solution le vecteur nul. D’après le résultat 2 (b) page 114,
cela veut dire que le rang de A est égal à n. Pour tout vecteur-colonne U ∈ K
n , l’équation
AX = U a donc une unique solution, d’après le résultat 3 (c) page 114. Cette solution vérifie
X = (CA)X = C(AX) = CU : l’unique solution de l’équation AX = U est le vecteur CU .
On a donc A(CU ) = U , ou encore (AC)U = U , quel que soit le vecteur-colonne U ∈ K
n .
Prenons pour U le i-ème vecteur canonique E i . On sait que le produit (AC)E i est la i-ème
colonne de AC (page 133). Puisque (AC)E i = E i , les colonnes de AC sont les E i , donc
AC = I n . Cela démontre l’implication CA = I n =⇒ AC = I n .
Réciproquement, supposons que C est une matrice carrée de taille n telle que AC = I n . En
intervertissant les rôles de A et C dans le raisonnement précédent, on en déduit CA = I n .
Il reste à montrer que si l’on a CA=AC=I n , alors C est unique. Supposons que D est une (autre)
matrice carrée vérifiant DA = AD = I n . Alors il vient D = DI n = D(AC)=(DA)C = I n C = C .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 137
vectoriel de K
n de dimension n − r, où r est le rang du système (page 116).
Définition
Soit A une matrice à p lignes et n colonnes. Le rang du système linéaire AX = 0
s’appelle le rang de A et se note rg A.
Lorsqu’on résout un système linéaire par la méthode de Gauss, on pratique sur les coefficients des équations les opérations qui permettent d’échelonner les vecteurs-ligne
de la matrice du système. À la fin, on obtient r vecteurs-ligne indépendants, où r
est le rang du système. Puisque r vecteurs indépendants engendrent un sous-espace
vectoriel de dimension r, on en déduit :
le rang d’une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel
engendré par les vecteurs-ligne.
D’après la propriété 3 page 121, on a aussi le théorème fondamental suivant.
Théorème. Le rang d’une matrice à p lignes est la dimension du sous-espace vectoriel
de K
p engendré par les vecteurs-colonne.
Conséquence : pour calculer le rang d’une matrice, on peut échelonner les
vecteurs-ligne ou bien échelonner les vecteurs-colonne.
1.4 Matrices inversibles
Proposition. Soit A une matrice carrée de taille n. Pour toute matrice carrée C de
taille n, on a l’équivalence CA = I n ⇐⇒ AC = I n . De plus, s’il existe une telle matrice
C , elle est unique.
Démonstration. Supposons que C est une matrice carrée de taille n telle que CA = I n . Si X
est un vecteur-colonne de K
n tel que AX =0, alors il vient X =I n X =(CA)X =C(AX)=C0=0.
L’équation AX = 0 a donc pour seule solution le vecteur nul. D’après le résultat 2 (b) page 114,
cela veut dire que le rang de A est égal à n. Pour tout vecteur-colonne U ∈ K
n , l’équation
AX = U a donc une unique solution, d’après le résultat 3 (c) page 114. Cette solution vérifie
X = (CA)X = C(AX) = CU : l’unique solution de l’équation AX = U est le vecteur CU .
On a donc A(CU ) = U , ou encore (AC)U = U , quel que soit le vecteur-colonne U ∈ K
n .
Prenons pour U le i-ème vecteur canonique E i . On sait que le produit (AC)E i est la i-ème
colonne de AC (page 133). Puisque (AC)E i = E i , les colonnes de AC sont les E i , donc
AC = I n . Cela démontre l’implication CA = I n =⇒ AC = I n .
Réciproquement, supposons que C est une matrice carrée de taille n telle que AC = I n . En
intervertissant les rôles de A et C dans le raisonnement précédent, on en déduit CA = I n .
Il reste à montrer que si l’on a CA=AC=I n , alors C est unique. Supposons que D est une (autre)
matrice carrée vérifiant DA = AD = I n . Alors il vient D = DI n = D(AC)=(DA)C = I n C = C .
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 137