® Concernant la somme et le produit, les règles de calcul pour les polynômes en la
matrice A sont les mêmes que pour les polynômes. On en déduit que pour tous
polynômes P et Q, on a P (A)Q(A) = (P Q)(A), où P Q est le polynôme produit.
Ainsi par exemple, si P = (2z − 1)
k et si A ∈ M n (K), alors P (A) = (2A − I n )
k .
Pour des matrices qui commutent, on a aussi la formule du binôme comme pour les
nombres.
Formule du binôme de Newton. Soient A et B des matrices carrées de même
taille. Si les matrices A et B commutent, alors pour tout entier k 2, on a
(A + B)
k = A
k +
k
1
A
k−1 B + · · · +
k
i
A
k−i B
i + · · · +
k
k−1
AB
k−1 + B
k
1.3 Matrices et systèmes linéaires
Considérons le système linéaire
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
aux n inconnues x 1 , . . . , x n . La matrice du système est par définition la matrice des
coefficients du premier membre, c’est-à-dire
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
a p1 a 22 · · · a pn
⎤
⎥
⎥
⎦
Posons X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦ et B =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1
b 2
. . .
b p
⎤
⎥
⎥
⎦ . Alors d’après la proposition page 133, le système
s’écrit simplement
AX = B .
Formulons dans le cadre des matrices quelques-uns des résultats obtenus au chapitre
précédent. Commençons par un résultat simple et fondamental.
Proposition. Si X 0 est une solution du système linéaire AX = B, alors les solutions
sont les vecteurs X = X 0 + U , où U est solution du système linéaire AX = 0.
Démonstration. Supposons AX 0 =B . Pour tout vecteur-colonne X∈K
n , on a les équivalences
AX = B ⇐⇒ AX = AX 0 ⇐⇒ AX − AX 0 = 0
⇐⇒ A(X − X 0 ) = 0 ⇐⇒ X = X 0 + U , où U vérifie AU = 0.
136 – MATRICES