L'ordre des facteurs compte. Soient A∈M p,n (K) et B ∈M n,p (K). Le produit AB est
défini : c’est une matrice carrée de taille p ; et le produit BA est défini : c’est une matrice
carrée de taille n. Si p = n, les matrices AB et BA ne sont évidemment pas égales.
Mais même en supposant que A et B sont des matrices carrées (p = n), le produit
AB n’est en général pas égal à BA : le produit des matrices n’est pas commutatif.
Exemple. Posons A =
1 1
1 1
et B =
1 1
−1 −1
. On a
AB =
1 1
1 1
1 1
−1 −1
=
0 0
0 0
et BA =
1 1
−1 −1
1 1
1 1
=
2 2
−2 −2
.
En fin de paragraphe, nous mentionnons les principaux cas particuliers où l’ordre
des facteurs ne compte pas.
Un produit de facteurs non nuls peut être nul. Autrement dit, si A et B sont des
matrices, on peut avoir A = 0, B = 0 et AB = 0. Par exemple, les matrices A et B de
l’exemple précédent sont toutes deux non nulles et le produit AB est la matrice nulle.
Comme autre exemple, prenons la matrice N =
0 1
0 0
: on a N
2 =
0 1
0 0
0 1
0 0
= 0.
Dans une égalité, on ne peut pas toujours simplifier par un facteur non nul.
C’est une conséquence de ce qui précède : supposons que A et B sont des matrices
non nulles telles que AB = 0, c’est-à-dire AB = 0B ; si l’on pouvait simplifier par
B dans cette égalité, alors on aurait A = 0, ce qui n’est pas vrai.
Exemple. Posons A =
1 1
1 1
et B =
2 1
−1 0
. On a AB =
1 1
1 1
2 1
−1 0
=
1 1
1 1
,
donc AB = A. Cette égalité s’écrit AB = AI 2 , mais B n’est pas égal à I 2 : on ne
peut pas simplifier par A.
Nous verrons bientôt une condition permettant de faire ces simplifications.
Matrices qui commutent. Si des matrices carrées A et B de M n (K) vérifient
AB = BA, on dit qu’elles commutent. Voici des exemples de matrices qui commutent.
® Pour des matrices diagonales, on a l’égalité
diag(a 1 , . . . , a n ) diag(b 1 , . . . , b n ) = diag(a 1 b 1 , . . . , a n b n ) .
Il s’ensuit que si D et D
sont des matrices diagonales, alors DD
= D
D.
® Pour tout scalaire λ, la matrice λI n = diag(λ, λ, . . . , λ) commute avec toute autre
matrice carrée A de taille n.
En effet, puisque AI n =I n A=A, on a A(λI n )=λ(AI n )=λA et (λI n )A=λ(I n A)=λA,
d’après les règles de calcul.
® Une matrice A∈M n (K) commute évidemment avec toutes ses puissances A
k , donc
aussi avec une matrice P (A), où P est un polynôme à coefficients dans K. On en déduit que si P et Q sont des polynômes, alors les matrices P (A) et Q(A) commutent.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 135
défini : c’est une matrice carrée de taille p ; et le produit BA est défini : c’est une matrice
carrée de taille n. Si p = n, les matrices AB et BA ne sont évidemment pas égales.
Mais même en supposant que A et B sont des matrices carrées (p = n), le produit
AB n’est en général pas égal à BA : le produit des matrices n’est pas commutatif.
Exemple. Posons A =
1 1
1 1
et B =
1 1
−1 −1
. On a
AB =
1 1
1 1
1 1
−1 −1
=
0 0
0 0
et BA =
1 1
−1 −1
1 1
1 1
=
2 2
−2 −2
.
En fin de paragraphe, nous mentionnons les principaux cas particuliers où l’ordre
des facteurs ne compte pas.
Un produit de facteurs non nuls peut être nul. Autrement dit, si A et B sont des
matrices, on peut avoir A = 0, B = 0 et AB = 0. Par exemple, les matrices A et B de
l’exemple précédent sont toutes deux non nulles et le produit AB est la matrice nulle.
Comme autre exemple, prenons la matrice N =
0 1
0 0
: on a N
2 =
0 1
0 0
0 1
0 0
= 0.
Dans une égalité, on ne peut pas toujours simplifier par un facteur non nul.
C’est une conséquence de ce qui précède : supposons que A et B sont des matrices
non nulles telles que AB = 0, c’est-à-dire AB = 0B ; si l’on pouvait simplifier par
B dans cette égalité, alors on aurait A = 0, ce qui n’est pas vrai.
Exemple. Posons A =
1 1
1 1
et B =
2 1
−1 0
. On a AB =
1 1
1 1
2 1
−1 0
=
1 1
1 1
,
donc AB = A. Cette égalité s’écrit AB = AI 2 , mais B n’est pas égal à I 2 : on ne
peut pas simplifier par A.
Nous verrons bientôt une condition permettant de faire ces simplifications.
Matrices qui commutent. Si des matrices carrées A et B de M n (K) vérifient
AB = BA, on dit qu’elles commutent. Voici des exemples de matrices qui commutent.
® Pour des matrices diagonales, on a l’égalité
diag(a 1 , . . . , a n ) diag(b 1 , . . . , b n ) = diag(a 1 b 1 , . . . , a n b n ) .
Il s’ensuit que si D et D
sont des matrices diagonales, alors DD
= D
D.
® Pour tout scalaire λ, la matrice λI n = diag(λ, λ, . . . , λ) commute avec toute autre
matrice carrée A de taille n.
En effet, puisque AI n =I n A=A, on a A(λI n )=λ(AI n )=λA et (λI n )A=λ(I n A)=λA,
d’après les règles de calcul.
® Une matrice A∈M n (K) commute évidemment avec toutes ses puissances A
k , donc
aussi avec une matrice P (A), où P est un polynôme à coefficients dans K. On en déduit que si P et Q sont des polynômes, alors les matrices P (A) et Q(A) commutent.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 135