Corollaire. Si A est une matrice à p lignes et n colonnes, alors on a AI n =A et I p A=A.
Démonstration. La j -ème colonne de I n est E j ∈ M n,1 (K), donc par définition du produit
de matrices, on a AI n = [ AE 1 AE 2 · · · AE n ]. Puisque AE j est la j -ième colonne de A,
les matrices AI n et A ont les mêmes colonnes. On montre de même l’égalité I p A = A en
remarquant que les lignes de I p sont les matrices
t E i .
1.2 Règles du calcul matriciel
On calcule évidemment sur les combinaisons linéaires de matrices comme sur les
combinaisons linéaires de vecteurs. Concernant le produit de matrices, on a les règles
suivantes.
I) A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC .
II) Si λ ∈ K, alors A(λB) = λAB = (λA)B .
III) A(BC) = (AB)C et cette matrice se note simplement ABC .
IV)
t (AB) = (
t B)(
t A).
® Il résulte des propriétés (I) et (II) que si A ∈ M p,n (K) et si B 1 , B 2 , . . . , B k sont des
matrices de M n,q (K), alors pour tous scalaires x 1 , x 2 , . . . , x k , on a dans M p,q (K)
l’égalité de matrices
A(x 1 B 1 + x 2 B 2 + · · · + x k B k ) = x 1 AB 1 + x 2 AB 2 + · · · + x k AB k .
® La matrice de M p,n (K) dont tous les coefficients sont nuls s’appelle la matrice nulle
et se note simplement 0. Pour toute matrice A ∈ M p,n (K), on a A + 0 = 0 + A = A
et si l’on multiplie une matrice par la matrice nulle, on obtient la matrice nulle.
Produit de matrices carrées. Le produit de deux matrices carrées de même
taille est une matrice carrée de même taille : le produit de matrices est donc une
opération dans l’ensemble M n (K).
Si A est une matrice carrée de taille n, on peut définir son carré AA = A
2 , son cube
AA
2 = A
3 et de proche en proche, pour tout entier k 2, sa puissance k-ème A
k ,
en posant A
k = AA
k−1 . De plus, on pose A
1 = A et A
0 = I n .
Polynôme en une matrice. Soit P =a k z
k +a k−1 z
k−1 +· · ·+a 1 z+a 0 un polynôme
à coefficients dans K. Pour toute matrice A ∈ M n (K), on définit la matrice
P (A) = a k A
k + a k−1 A
k−1 + · · · + a 1 A + a 0 I n
qui appartient à M n (K).
Particularités du produit matriciel
Nous avons vu que le produit de deux matrices n’est défini que si le nombre de
colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Voici d’autres
particularités du produit matriciel.
134 – MATRICES
Démonstration. La j -ème colonne de I n est E j ∈ M n,1 (K), donc par définition du produit
de matrices, on a AI n = [ AE 1 AE 2 · · · AE n ]. Puisque AE j est la j -ième colonne de A,
les matrices AI n et A ont les mêmes colonnes. On montre de même l’égalité I p A = A en
remarquant que les lignes de I p sont les matrices
t E i .
1.2 Règles du calcul matriciel
On calcule évidemment sur les combinaisons linéaires de matrices comme sur les
combinaisons linéaires de vecteurs. Concernant le produit de matrices, on a les règles
suivantes.
I) A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC .
II) Si λ ∈ K, alors A(λB) = λAB = (λA)B .
III) A(BC) = (AB)C et cette matrice se note simplement ABC .
IV)
t (AB) = (
t B)(
t A).
® Il résulte des propriétés (I) et (II) que si A ∈ M p,n (K) et si B 1 , B 2 , . . . , B k sont des
matrices de M n,q (K), alors pour tous scalaires x 1 , x 2 , . . . , x k , on a dans M p,q (K)
l’égalité de matrices
A(x 1 B 1 + x 2 B 2 + · · · + x k B k ) = x 1 AB 1 + x 2 AB 2 + · · · + x k AB k .
® La matrice de M p,n (K) dont tous les coefficients sont nuls s’appelle la matrice nulle
et se note simplement 0. Pour toute matrice A ∈ M p,n (K), on a A + 0 = 0 + A = A
et si l’on multiplie une matrice par la matrice nulle, on obtient la matrice nulle.
Produit de matrices carrées. Le produit de deux matrices carrées de même
taille est une matrice carrée de même taille : le produit de matrices est donc une
opération dans l’ensemble M n (K).
Si A est une matrice carrée de taille n, on peut définir son carré AA = A
2 , son cube
AA
2 = A
3 et de proche en proche, pour tout entier k 2, sa puissance k-ème A
k ,
en posant A
k = AA
k−1 . De plus, on pose A
1 = A et A
0 = I n .
Polynôme en une matrice. Soit P =a k z
k +a k−1 z
k−1 +· · ·+a 1 z+a 0 un polynôme
à coefficients dans K. Pour toute matrice A ∈ M n (K), on définit la matrice
P (A) = a k A
k + a k−1 A
k−1 + · · · + a 1 A + a 0 I n
qui appartient à M n (K).
Particularités du produit matriciel
Nous avons vu que le produit de deux matrices n’est défini que si le nombre de
colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde. Voici d’autres
particularités du produit matriciel.
134 – MATRICES