® Le produit M =
a b c
a
b
c
x
y
z
est la matrice-colonne
m 11
m 21
, avec m 11 =[ a b c ]
x
y
z
=
ax + by + cz et m 21 = [ a
b
c
]
x
y
z
= a
x + b
y + c
z. On a donc
a b c
a
b
c
x
y
z
=
ax + by + cz
a
x + b
y + c
z
.
® Posons A =
1 2
1 −1
−1 1
, B =
x
y
et C =
x z
y t
. Il vient
AB =
x + 2y
x − y
−x + y
et AC =
1 2
1 −1
−1 1
x z
y t
=
x + 2y z + 2t
x − y z − t
−x + y −z + t
,
mais les produit BA et CA ne sont pas définis.
Produit de matrices carrées de même taille. Pour toutes matrices carrées A
et B à n lignes et n colonnes, le produit AB est défini et c’est une matrice carrée
à n lignes et n colonnes. On a par exemple
a 1
0 a
b c
0 b
=
ab ac + b
0
ab
.
Voici une proposition simple et commode qui résulte immédiatement de la définition
du produit matriciel.
Proposition. Soit A une matrice à p lignes et n colonnes. Si les colonnes de
A sont A 1 , A 2 , . . . , A n , alors pour tout vecteur-colonne X =
⎡
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x n
⎤
⎥
⎦, on a AX =
x 1 A 1 + x 2 A 2 + · · · + x n A n .
Sélection d'une colonne ou d'une ligne. Rappelons que pour tout j∈{1,. . .,n},
on note e j le vecteur canonique de K
n dont tous les coefficients sont nuls sauf le
j -ème qui vaut 1 et que E j désigne le vecteur-colonne correspondant (voir page
102). D’après la proposition précédente,
si A est une matrice à p lignes et n colonnes, alors pour tout j∈{1,2,. . .,n},
le produit AE j est la j -ème colonne de A.
De même, si i est un indice entre 1 et p, la matrice
t E i est une matrice-ligne et le
produit (
t E i )A est la i-ème ligne de A.
Dans une matrice, on peut donc sélectionner la colonne j en multipliant à droite par
E j et l’on peut sélectionner la ligne i en multipliant à gauche par
t E i .
Définition
Pour tout entier n1, on note I n =
⎡
⎢
⎣
1 0 0 · · · 0
0 1 0 · · · 0
. . .
. . .
. . .
0 0
· · · 1
⎤
⎥
⎦ la matrice diagonale diag(1,1,. . .,1)
à n lignes et n colonnes. Cette matrice s’appelle la matrice unité de M n (K).
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 133