A est une matrice-ligne et B est une matrice-colonne
Supposons A = [ a 1 a 2 · · · a n ] et B =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1
b 2
. . .
b n
⎤
⎥
⎥
⎦ (ces matrices ayant le même nombre
n de coefficients). On pose
AB = [ a 1 a 2 · · · a n ]
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1
b 2
. . .
b n
⎤
⎥
⎥
⎦ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + · · · + a n b n .
A est quelconque et B est une matrice-colonne
Supposons que A = [a ij ] possède p lignes et n colonnes et que B =
⎡
⎢
⎢
⎣
b 1
b 2
. . .
b n
⎤
⎥
⎥
⎦ a n
lignes. Pour tout indice i compris entre 1 et p, notons L i la i-ème ligne de A. Le
produit matriciel L i B est bien défini et vaut
L i B = a i1 b 1 + a i2 b 2 + · · · + a in b n .
On définit le produit AB de la manière suivante.
La matrice produit AB =
⎡
⎣
L 1
. . .
L p
⎤
⎦ B est la matrice-colonne
⎡
⎢
⎢
⎣
L 1 B
L 2 B
. . .
L p B
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Le produit AB a autant de lignes que A.
A possède n colonnes et B possède n lignes
Appelons C 1 , C 2 , · · · , C q les colonnes de B. Pour tout indice j compris entre 1 et
q, le produit matriciel AC j est bien défini : c’est une matrice-colonne ayant autant
de lignes que A.
Définition
Le produit AB = A [ C 1 · · · C q ] est la matrice [ AC 1 AC 2 · · · AC q ]. Le produit
AB a autant de colonnes que B et autant de lignes que A.
Si A ∈ M p,n (K) et si B ∈ M n,q (K), alors le produit AB appartient à M p,q (K).
Exemples
® Le produit [ a b c ]
1
2
3
= [a + 2b + 3c] s’identifie au scalaire a + 2b + 3c ∈ K.
132 – MATRICES