Ces deux opérations permettent de définir des combinaisons linéaires de matrices de
même taille.
Définition
Soient A 1 ,A 2 ,. . .,A k des matrices à p lignes et n colonnes. Une combinaison linéaire
des matrices A 1 , A 2 , . . . , A k est une matrice de la forme
t 1 A 1 + t 2 A 2 + · · · + t k A k ,
où t 1 ,t 2 ,. . .,t k sont des scalaires. C’est encore une matrice à p lignes et n colonnes.
Pour des matrices-colonnes à p lignes, on retrouve la notion de combinaison linéaire
de vecteurs de K
p .
Exemple. On a 2
a b 0
0 b
c
− 3
0 v w
u
v
0
=
2a 2b − 3v −3w
−3u
2b
− 3v
2c
.
Transposée d'une matrice
Définitions
® La transposée de la matrice-colonne A =
⎡
⎣
a 1
. . .
a p
⎤
⎦ est la matrice-ligne [ a 1 · · · a p ]
et se note
t A.
® Soit A une matrice ayant n colonnes A 1 , A 2 , . . . , A n . La matrice transposée de A,
notée
t A, est la matrice dont les lignes sont
t A 1 ,
t A 2 , . . . ,
t A n .
Exemple. La transposée de la matrice A =
a b c
a
b
c
est la matrice
t A =
a a
b b
c c
.
Si A ∈ M p,n (K), alors
t A ∈ M n,p (K). Pour tous indices i et j , le coefficient situé en
i-ème ligne, j -ème colonne de A se trouve en j -ème ligne, i-ème colonne de
t A. Si
A = [a ij ], on a donc
t A = [a ji ] et l’égalité
t (
t A) = A.
Si A est une matrice carrée,
t A s’obtient en faisant une symétrie par rapport à la
diagonale de A (c’est-à-dire la droite constituée des coefficients diagonaux).
Lorsqu’on a l’égalité A =
t A, on dit que la matrice A est symétrique.
Produit de matrices
Si A et B sont des matrices, le produit AB est défini seulement à la condition que
le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B.
Procédons par étapes pour définir le produit matriciel AB. L’opération de base est
le produit d’une ligne par une colonne.
Chapitre 5 – MATRICES ET D ´
ETERMINANTS – 131