Pour définir une matrice générale à p lignes et n colonnes, on utilise deux indices
pour les coefficients :
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. . .
. . .
. . .
a p1 a p2 · · · a pn
⎤
⎥
⎥
⎦
Le premier indice est le numéro de la ligne, le second est le numéro de la colonne.
La matrice ci-dessus se note aussi A = [a ij ].
Lignes et colonnes d'une matrice
® Si j est l’indice d’une colonne, la matrice-colonne A j =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1j
a 2j
. . .
a pj
⎤
⎥
⎥
⎦ s’appelle la j -ème colonne de A. Pour mettre en évidence les colonnes de A, on note A=[ A 1 A 2 · · · A n ].
® De même, si i est l’indice d’une ligne, la matrice-ligne L i = [ a i1 a i2 · · · a in ]
s’appelle la i-ème ligne de A et l’on pourra noter A =
⎡
⎢
⎢
⎣
L 1
L 2
. . .
L p
⎤
⎥
⎥
⎦ .
® Une matrice [a] qui n’a qu’une seule ligne et qu’une seule colonne est identifiée
au scalaire a.
Définition
Si A = [a ij ] est une matrice carrée, les coefficients a ii s’appellent les coefficients diagonaux de A. Une matrice carrée dont tous les coefficients non diagonaux sont nuls
s’appelle une matrice diagonale. On note diag(a 1 , a 2 , . . . , a n ) la matrice diagonale
dont les coefficients diagonaux sont a 1 , . . . , a n .
Ainsi par exemple, on a diag(a, b, c) =
a 0 0
0 b 0
0 0 c
.
Produit d'une matrice par un scalaire
Pour multiplier une matrice A par un nombre t, on multiplie tous les coefficients
par t : si A = [a ij ], on a donc tA = [ta ij ].
Somme de deux matrices
Soient A = [a ij ] et B = [b ij ] des matrices de même taille. On définit la matrice A + B
en ajoutant coefficient par coefficient, autrement dit le coefficient d’indices i, j dans
la matrice A + B est a ij + b ij . La matrice A + B est de même taille que A et B.
130 – MATRICES