b) Exprimer a, b, c, d au moyen de x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , p 1 , p 2 .
c) On suppose x 1 = y 1 = 0, p 1 = 5, x 2 = 3, y 2 = 2 et p 2 = 0. Dessiner la courbe
d’équation y = P (x) sur l’intervalle [x 1 , x 2 ].
3. Résoudre le système d’équations linéaires
2x + y + z − t = 1
3x − y − z + t = 1
4. Résoudre le système d’équations linéaires
⎧
⎨
⎩
x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = a
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = b
x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = c
5
@ . On considère le système d’équations linéaires
⎧
⎨
⎩
x 1 + x 3 + 4x 4 + 4x 5 = a
x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = b
x 1 + 2x 2 + mx 3 = c
a) Quel est le rang du système ? (discuter selon la valeur de m)
b) Pour quels nombres m ce système possède-t-il des solutions quels que soient a,b,c ?
c) Résoudre le système en discutant selon les valeurs de a, b, c, m.
6
@ . Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 défini par les équations (S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y + z + t = 0
x − y + z − t = 0
x − 2y − 2t = 0
x + 2z = 0
a) Trouver un système d’équations définissant V et comportant le nombre minimum
d’équations. Quel est le rang du système (S) ?
b) Trouver une base de V . Quelle est la dimension de V ?
7
@ . Trouver une base du sous-espace vectoriel de R
4 engendré par les vecteurs (0,1,2,1),
(1, −1, 1, −1), (a, 0, 3, 0), (1, 1, 5, 1) (discuter selon les valeurs de a).
8
@ . Posons u = (0, 1, 2, 3) et v = (3, 2, 1, 0). Soit V l’ensemble des vecteurs (x, y, z, t) ∈ R
4
de la forme au + bv, où a et b parcourent les nombres réels.
a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R
4 . Quelle est sa dimension ?
b) Trouver des équations de V .
9
@ . Soit D la droite affine de R
3 d’équations
x − y + 2z = 1
x + y + z = 1
. Trouver l’équation du
plan affine contenant D et passant par le point de coordonnées (a, a, a).
10
@ . Soit V le plan vectoriel de R
3 ayant pour base (1, 1, 1), (1, 0, 2). Quelle est l’équation
du plan affine passant par le point A = (1, 2, 1) et de direction V ?
126 – EXERCICES
c) On suppose x 1 = y 1 = 0, p 1 = 5, x 2 = 3, y 2 = 2 et p 2 = 0. Dessiner la courbe
d’équation y = P (x) sur l’intervalle [x 1 , x 2 ].
3. Résoudre le système d’équations linéaires
2x + y + z − t = 1
3x − y − z + t = 1
4. Résoudre le système d’équations linéaires
⎧
⎨
⎩
x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = a
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = b
x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = c
5
@ . On considère le système d’équations linéaires
⎧
⎨
⎩
x 1 + x 3 + 4x 4 + 4x 5 = a
x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 = b
x 1 + 2x 2 + mx 3 = c
a) Quel est le rang du système ? (discuter selon la valeur de m)
b) Pour quels nombres m ce système possède-t-il des solutions quels que soient a,b,c ?
c) Résoudre le système en discutant selon les valeurs de a, b, c, m.
6
@ . Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 défini par les équations (S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
y + z + t = 0
x − y + z − t = 0
x − 2y − 2t = 0
x + 2z = 0
a) Trouver un système d’équations définissant V et comportant le nombre minimum
d’équations. Quel est le rang du système (S) ?
b) Trouver une base de V . Quelle est la dimension de V ?
7
@ . Trouver une base du sous-espace vectoriel de R
4 engendré par les vecteurs (0,1,2,1),
(1, −1, 1, −1), (a, 0, 3, 0), (1, 1, 5, 1) (discuter selon les valeurs de a).
8
@ . Posons u = (0, 1, 2, 3) et v = (3, 2, 1, 0). Soit V l’ensemble des vecteurs (x, y, z, t) ∈ R
4
de la forme au + bv, où a et b parcourent les nombres réels.
a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R
4 . Quelle est sa dimension ?
b) Trouver des équations de V .
9
@ . Soit D la droite affine de R
3 d’équations
x − y + 2z = 1
x + y + z = 1
. Trouver l’équation du
plan affine contenant D et passant par le point de coordonnées (a, a, a).
10
@ . Soit V le plan vectoriel de R
3 ayant pour base (1, 1, 1), (1, 0, 2). Quelle est l’équation
du plan affine passant par le point A = (1, 2, 1) et de direction V ?
126 – EXERCICES