sont parallèles ; l’ordonnée à l’origine (obtenue pour q 1 = 0) est a/3.
2
1
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4,5
4
q 2
q 2
q 1
q 1
3 q2
−
2 q1
=
6
3 q 2 −
2 q1
=
a
3 q2
−
2 q1
=
0
q 2
= 3 q 1
q2
=
( 2 / 3 ) q1
+
7 / 5
q2
= ( 1 / 2 ) q1 + 3 / 2
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
O
O
A
B
a/3
La droite d’équation 3q 2 − 2q 1 = 6q est l’une de ces droites et elle doit contenir des
points du triangle OAB. La pente 2/3 étant comprise entre la pente de AB (qui vaut
1/2) et celle de OA (qui vaut 3), c’est pour la droite passant par A que q est maximum.
Cherchons l’équation de cette droite. Les coordonnées de A sont (3/5, 9/5), donc
6q = 3(9/5) − 2(3/5) = 7(3/5) et q = 7/10. L’équation de la droite optimum est donc
3q 2 − 2q 1 = 6(7/10), ou encore q 2 = (2/3)q 1 + 7/5. Pour assurer cette production, il
faut que q 1 = 3/5 et que q 2 = 9/5. Il vient alors q 3 = q 2 /3 = 3/5 et q 4 = 2q 2 − q 1 = 3.
Les quantités utilisées pour fabriquer le fil f sont
® pour f 4 : q 4 /3 = 1,
® pour f 3 : q 3 /2 = 3/10,
® pour f 2 : q = 7/10. La proportion de fil f 2 consacrée à la production de f est
q
q 2
= 7
10
5
9
= 7
18
, soit un peu plus de 38, 8%.
Exercices
1. On considère le système d’équations du pont de Wheatstone, page 104.
a) Montrer que l’intensité i 5 est nulle si et seulement si r 1 r 3 = r 2 r 4 .
b) On suppose r 1 = r 3 = r 4 = 2Ω et r 2 = 1Ω. Calculer les intensités (en ampère) en
fonction de e (exprimé en volt) et de r 5 . On suppose e = 12V et l’on fait varier
r 5 d’une valeur très petite à une valeur très grande. Entre quelles bornes varie
l’intensité dans le générateur ?
2
@ . On cherche une courbe polynomiale x → P (x) de degré au plus 3 passant
au point A 1 = (x 1 , y 1 ) avec une pente p 1 et au point A 2 = (x 2 , y 2 ) avec une
pente p 2 (on suppose x 1 = x 2 ). Cherchons le polynôme P sous la forme
P (x)=a
(x−x 1 )
2 (x−x 2 )+(x−x 1 )(x−x 2 )
2 )
+b(x−x 1 )(x−x 2 )+c(x−x 1 )+d(x−x 2 ),
où a, b, c, d sont des coefficients à calculer.
a) Écrire les quatre équations vérifiées par a, b, c, d.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 125
2
1
1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4,5
4
q 2
q 2
q 1
q 1
3 q2
−
2 q1
=
6
3 q 2 −
2 q1
=
a
3 q2
−
2 q1
=
0
q 2
= 3 q 1
q2
=
( 2 / 3 ) q1
+
7 / 5
q2
= ( 1 / 2 ) q1 + 3 / 2
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
O
O
A
B
a/3
La droite d’équation 3q 2 − 2q 1 = 6q est l’une de ces droites et elle doit contenir des
points du triangle OAB. La pente 2/3 étant comprise entre la pente de AB (qui vaut
1/2) et celle de OA (qui vaut 3), c’est pour la droite passant par A que q est maximum.
Cherchons l’équation de cette droite. Les coordonnées de A sont (3/5, 9/5), donc
6q = 3(9/5) − 2(3/5) = 7(3/5) et q = 7/10. L’équation de la droite optimum est donc
3q 2 − 2q 1 = 6(7/10), ou encore q 2 = (2/3)q 1 + 7/5. Pour assurer cette production, il
faut que q 1 = 3/5 et que q 2 = 9/5. Il vient alors q 3 = q 2 /3 = 3/5 et q 4 = 2q 2 − q 1 = 3.
Les quantités utilisées pour fabriquer le fil f sont
® pour f 4 : q 4 /3 = 1,
® pour f 3 : q 3 /2 = 3/10,
® pour f 2 : q = 7/10. La proportion de fil f 2 consacrée à la production de f est
q
q 2
= 7
10
5
9
= 7
18
, soit un peu plus de 38, 8%.
Exercices
1. On considère le système d’équations du pont de Wheatstone, page 104.
a) Montrer que l’intensité i 5 est nulle si et seulement si r 1 r 3 = r 2 r 4 .
b) On suppose r 1 = r 3 = r 4 = 2Ω et r 2 = 1Ω. Calculer les intensités (en ampère) en
fonction de e (exprimé en volt) et de r 5 . On suppose e = 12V et l’on fait varier
r 5 d’une valeur très petite à une valeur très grande. Entre quelles bornes varie
l’intensité dans le générateur ?
2
@ . On cherche une courbe polynomiale x → P (x) de degré au plus 3 passant
au point A 1 = (x 1 , y 1 ) avec une pente p 1 et au point A 2 = (x 2 , y 2 ) avec une
pente p 2 (on suppose x 1 = x 2 ). Cherchons le polynôme P sous la forme
P (x)=a
(x−x 1 )
2 (x−x 2 )+(x−x 1 )(x−x 2 )
2 )
+b(x−x 1 )(x−x 2 )+c(x−x 1 )+d(x−x 2 ),
où a, b, c, d sont des coefficients à calculer.
a) Écrire les quatre équations vérifiées par a, b, c, d.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 125