Une contrainte supplémentaire.
A
B
q 2
= 3 q 1
q2 = ( 1 / 2 ) q1 + 3 / 2
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
O
q 2
q 1
Pour des raisons commerciales, l’entreprise
veut limiter à trois unités la production du fil f 4 . On doit donc avoir 2q 2 − q 1 = q 4 3,
c’est-à-dire q 2 (1/2)q 1 +3/2. En ajoutant au graphique la droite d’équation 2q 2 − q 1 = 3, on voit
que les couples (q 1 , q 2 ) possibles sont maintenant dans le triangle OAB représenté ci-contre.
Les coordonnées du point A sont déterminées
par les équations q 2 = 3q 1 = (1/2)q 1 + 3/2, d’où
(5/2)q 1 = 3/2, q 1 = 3/5 et q 2 = 9/5. Les coordonnées du point B sont données par q 2 =
(3/4)q 1 =(1/2)q 1 +3/2, donc (1/4)q 1 =3/2, q 1 =6
et q 2 = 9/2.
A : (3/5, 9/5) , B : (6, 9/2)
Un problème d'optimisation. On demande en plus à l’entreprise de fournir un
fil composite f constitué avec f 2 , f 3 et f 4 et comportant 50% de f 4 . Il est décidé de
consacrer à cette production la moitié de la quantité q 3 et un tiers de q 4 . Le bénéfice attendu concerne principalement la quantité du fil f 2 rentrant dans la nouvelle
fabrication : l’entreprise cherche donc à rendre maximum cette quantité. Comment
doit-elle ajuster les variables de contrôle q 1 et q 2 ?
Notons q la quantité de fil f 2 utilisée dans la nouvelle fabrication. On doit avoir
l’égalité
q 4
3
=
q 3
2
+ q donc il s’agit de rendre maximum la quantité
q =
q 4
3
−
q 3
2
.
Exprimons q en fonction des variables de contrôle q 1 et q 2 . D’après (C
), il vient
2q 4 − 3q 3 = 2(2q 2 − q 1 ) − q 2 = 3q 2 − 2q 1 , donc
(1)
6q = 3q 2 − 2q 1 .
Rappelons que les variables q 1 et q 2 satisfont aux inégalités :
(2)
(3/4)q 1 q 2 3q 1
q 2 (1/2)q 1 + 3/2
qui expriment que le point de coordonnées (q 1 , q 2 ) est dans le triangle OAB.
Dans le repère des variables (q 1 , q 2 ), dessinons les droites d’équation 3q 2 − 2q 1 = a,
où a est un nombre quelconque. Ces droites ayant toutes la même pente 2/3, elles
124 – UN EXEMPLE D’APPLICATION
A
B
q 2
= 3 q 1
q2 = ( 1 / 2 ) q1 + 3 / 2
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
O
q 2
q 1
Pour des raisons commerciales, l’entreprise
veut limiter à trois unités la production du fil f 4 . On doit donc avoir 2q 2 − q 1 = q 4 3,
c’est-à-dire q 2 (1/2)q 1 +3/2. En ajoutant au graphique la droite d’équation 2q 2 − q 1 = 3, on voit
que les couples (q 1 , q 2 ) possibles sont maintenant dans le triangle OAB représenté ci-contre.
Les coordonnées du point A sont déterminées
par les équations q 2 = 3q 1 = (1/2)q 1 + 3/2, d’où
(5/2)q 1 = 3/2, q 1 = 3/5 et q 2 = 9/5. Les coordonnées du point B sont données par q 2 =
(3/4)q 1 =(1/2)q 1 +3/2, donc (1/4)q 1 =3/2, q 1 =6
et q 2 = 9/2.
A : (3/5, 9/5) , B : (6, 9/2)
Un problème d'optimisation. On demande en plus à l’entreprise de fournir un
fil composite f constitué avec f 2 , f 3 et f 4 et comportant 50% de f 4 . Il est décidé de
consacrer à cette production la moitié de la quantité q 3 et un tiers de q 4 . Le bénéfice attendu concerne principalement la quantité du fil f 2 rentrant dans la nouvelle
fabrication : l’entreprise cherche donc à rendre maximum cette quantité. Comment
doit-elle ajuster les variables de contrôle q 1 et q 2 ?
Notons q la quantité de fil f 2 utilisée dans la nouvelle fabrication. On doit avoir
l’égalité
q 4
3
=
q 3
2
+ q donc il s’agit de rendre maximum la quantité
q =
q 4
3
−
q 3
2
.
Exprimons q en fonction des variables de contrôle q 1 et q 2 . D’après (C
), il vient
2q 4 − 3q 3 = 2(2q 2 − q 1 ) − q 2 = 3q 2 − 2q 1 , donc
(1)
6q = 3q 2 − 2q 1 .
Rappelons que les variables q 1 et q 2 satisfont aux inégalités :
(2)
(3/4)q 1 q 2 3q 1
q 2 (1/2)q 1 + 3/2
qui expriment que le point de coordonnées (q 1 , q 2 ) est dans le triangle OAB.
Dans le repère des variables (q 1 , q 2 ), dessinons les droites d’équation 3q 2 − 2q 1 = a,
où a est un nombre quelconque. Ces droites ayant toutes la même pente 2/3, elles
124 – UN EXEMPLE D’APPLICATION