Les équations. Le fil f 1 utilise 40% de M et 10% de M
, donc le nombre d’unités de fil f 1 produite est q 1 = (4/10)x + (1/10)y. En raisonnant de même pour les
autres fils, on obtient les égalités :
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(3/10)x + (3/10)y = q 2
(1/10)x + (1/10)y = q 3
(2/10)x + (5/10)y = q 4
Ce système d’équations est équivalent à :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
(3/10)y = 4q 3 − q 1
(9/10)y = 2q 4 − q 1
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3(4q 3 − q 1 ) − (4q 2 − 3q 1 )
0 = (2q 4 − q 1 ) − (4q 2 − 3q 1 )
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)1y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = 2q 1 − 4q 2 + 2q 4
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x = q 1 − (4/9)q 2 + (1/3)q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = q 1 − 2q 2 + q 4
c’est-à-dire à : (S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(1/10)x = (3q 1 − q 2 )/9
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = q 1 − 2q 2 + q 4
Les quantités x, y, q 1 , q 2 , q 3 et q 4 devant être positives ou nulles, les conditions de
production sont :
(C)
3q 1 q 2 0
4q 2 3q 1 0
(C
)
3q 3 = q 2
q 4 = 2q 2 − q 1
et q 4 0.
D’après (C
), q 1 et q 2 déterminent q 3 et q 4 . Si les conditions (C) sont satisfaites,
alors 2q 2 (3/2)q 1 et l’on a bien q 4 = 2q 2 − q 1 (3/2)q 1 − q 1 = (1/2)q 1 0.
Un vecteur de production est donc déterminé par q 1 et q 2 , pourvu que ces quantités
vérifient (C). Les variables q 1 et q 2 sont des variables de contrôle. Pour des valeurs
données de q 1 et q 2 , les quantités x et y de matières premières nécessaires à la
production se calculent au moyen des deux premières égalités de (S
).
® Le vecteur de production (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) = (3, 3, 1, 4) est irréalisable, car la seconde
égalité de (C
) n’est pas satisfaite.
® Le vecteur (q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 )=(3,3,1,3) s’obtient avec les quantités de matières premières
x = 20/3 et y = 10/3.
Représentation graphique.
q 1
q 2
q 2 3 q 1
=
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
Sur le graphique ci-contre,
on a porté q 1 en abscisse, q 2 en ordonnée, et l’on a représenté la droite d’équation q 2 − 3q 1 = 0 et la droite d’équation
4q 2 − 3q 1 = 0. La partie grisée représente les couples (q 1 , q 2 )
possibles.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 123
, donc le nombre d’unités de fil f 1 produite est q 1 = (4/10)x + (1/10)y. En raisonnant de même pour les
autres fils, on obtient les égalités :
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(3/10)x + (3/10)y = q 2
(1/10)x + (1/10)y = q 3
(2/10)x + (5/10)y = q 4
Ce système d’équations est équivalent à :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
(3/10)y = 4q 3 − q 1
(9/10)y = 2q 4 − q 1
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3(4q 3 − q 1 ) − (4q 2 − 3q 1 )
0 = (2q 4 − q 1 ) − (4q 2 − 3q 1 )
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x + (1/10)1y = q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = 2q 1 − 4q 2 + 2q 4
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(4/10)x = q 1 − (4/9)q 2 + (1/3)q 1
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = q 1 − 2q 2 + q 4
c’est-à-dire à : (S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
(1/10)x = (3q 1 − q 2 )/9
(9/10)y = 4q 2 − 3q 1
0 = 3q 3 − q 2
0 = q 1 − 2q 2 + q 4
Les quantités x, y, q 1 , q 2 , q 3 et q 4 devant être positives ou nulles, les conditions de
production sont :
(C)
3q 1 q 2 0
4q 2 3q 1 0
(C
)
3q 3 = q 2
q 4 = 2q 2 − q 1
et q 4 0.
D’après (C
), q 1 et q 2 déterminent q 3 et q 4 . Si les conditions (C) sont satisfaites,
alors 2q 2 (3/2)q 1 et l’on a bien q 4 = 2q 2 − q 1 (3/2)q 1 − q 1 = (1/2)q 1 0.
Un vecteur de production est donc déterminé par q 1 et q 2 , pourvu que ces quantités
vérifient (C). Les variables q 1 et q 2 sont des variables de contrôle. Pour des valeurs
données de q 1 et q 2 , les quantités x et y de matières premières nécessaires à la
production se calculent au moyen des deux premières égalités de (S
).
® Le vecteur de production (q 1 , q 2 , q 3 , q 4 ) = (3, 3, 1, 4) est irréalisable, car la seconde
égalité de (C
) n’est pas satisfaite.
® Le vecteur (q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 )=(3,3,1,3) s’obtient avec les quantités de matières premières
x = 20/3 et y = 10/3.
Représentation graphique.
q 1
q 2
q 2 3 q 1
=
q 2
=
( 3 / 4 ) q 1
Sur le graphique ci-contre,
on a porté q 1 en abscisse, q 2 en ordonnée, et l’on a représenté la droite d’équation q 2 − 3q 1 = 0 et la droite d’équation
4q 2 − 3q 1 = 0. La partie grisée représente les couples (q 1 , q 2 )
possibles.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 123