i) changer l’ordre des coordonnées,
ii) multiplier une coordonnée par un scalaire non nul,
iii) ajouter à l’une des coordonnées un multiple d’une autre coordonnée.
Pour tout vecteur u ∈ K
p , notons u
le vecteur obtenu après cette suite d’opérations : cela définit une transformation u → u
de K
p . Le transformé de au est au
, le transformé de u + v est
u
+ v
et le transformé du vecteur nul est le vecteur nul. De plus, on peut retrouver u à partir
de u
par une suite d’opérations du même type, donc la transformation u → u
est bijective.
Montrons que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u r sont indépendants. Supposons qu’on a une relation y 1 u 1 + y 2 u 2 + · · · + y r u r = 0 ; alors en transformant chaque membre de l’égalité, il vient
y 1 u
1 + y 2 u
2 + · · · + y r u
r = 0 ; les vecteurs u
1 , u
2 , . . . , u
r étant visiblement indépendants (ils
sont échelonnés par le bas), les scalaires y 1 , y 2 , . . . , y r sont tous nuls.
Montrons que pour r + 1 k n, le vecteur u k est combinaison linéaire de u 1 , u 2 , . . . , u r .
Le système d’équations aux inconnues t 1 , t 2 , . . . , t r :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
t 1 + a
12 t 2 + a
13 t 3 + · · · + a
1r t r = a
1k
t 2 + a
23 t 3 + · · · + a
2r t r = a
2k
. . .
. . .
. . .
t r = a
rk
possède r équations, r inconnues et est de rang r, donc il a une unique solution (t 1 ,t 2 ,. . .,t r ).
On a, dans K
r , l’égalité de vecteurs
t 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
+ t 2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
12
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ · · · + t r
⎡
⎢
⎢
⎣
a
1r
a
2r
. . .
1
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
a
1k
a
2k
. . .
a
rk
⎤
⎥
⎥
⎦
et comme les p − r dernières coordonnées des vecteurs u
i sont nulles, on a aussi
t 1 u
1 + t 2 u
2 + · · · + t r u
r = u
k .
Puisque la transformation u → u
est une bijection, on en déduit t 1 u 1 + t 2 u 2 + · · · + t r u r = u k :
chaque u k est donc combinaison de u 1 , . . . , u r . Ainsi le sous-espace vectoriel V engendré
par u 1 , u 2 , . . . , u n est aussi engendré par les vecteurs indépendants u 1 , . . . , u r , donc V est de
dimension r.
4. Un exemple d'application
f 1 f 2 f 3 f 4
M 40 30 10 20
M
10 30 10 50
Dans l’un de ses secteurs de production, une entreprise fabrique quatre sortes de fils
synthétiques f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , essentiellement à partir de deux
matières premières M et M
. Dans le tableau ci-contre, les
chiffres indiquent le pourcentage de M et le pourcentage
de M
rentrant dans la composition de chaque fil.
Notons q i le nombre d’unités de fil f i produit chaque jour. Une production journalière
est ainsi caractérisée par le vecteur (q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ). Cherchons les vecteurs de production
qu’on peut obtenir à partir de quantités x et y des matières premières M et M
.
122 – UN EXEMPLE D’APPLICATION
ii) multiplier une coordonnée par un scalaire non nul,
iii) ajouter à l’une des coordonnées un multiple d’une autre coordonnée.
Pour tout vecteur u ∈ K
p , notons u
le vecteur obtenu après cette suite d’opérations : cela définit une transformation u → u
de K
p . Le transformé de au est au
, le transformé de u + v est
u
+ v
et le transformé du vecteur nul est le vecteur nul. De plus, on peut retrouver u à partir
de u
par une suite d’opérations du même type, donc la transformation u → u
est bijective.
Montrons que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u r sont indépendants. Supposons qu’on a une relation y 1 u 1 + y 2 u 2 + · · · + y r u r = 0 ; alors en transformant chaque membre de l’égalité, il vient
y 1 u
1 + y 2 u
2 + · · · + y r u
r = 0 ; les vecteurs u
1 , u
2 , . . . , u
r étant visiblement indépendants (ils
sont échelonnés par le bas), les scalaires y 1 , y 2 , . . . , y r sont tous nuls.
Montrons que pour r + 1 k n, le vecteur u k est combinaison linéaire de u 1 , u 2 , . . . , u r .
Le système d’équations aux inconnues t 1 , t 2 , . . . , t r :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
t 1 + a
12 t 2 + a
13 t 3 + · · · + a
1r t r = a
1k
t 2 + a
23 t 3 + · · · + a
2r t r = a
2k
. . .
. . .
. . .
t r = a
rk
possède r équations, r inconnues et est de rang r, donc il a une unique solution (t 1 ,t 2 ,. . .,t r ).
On a, dans K
r , l’égalité de vecteurs
t 1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
+ t 2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
12
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ · · · + t r
⎡
⎢
⎢
⎣
a
1r
a
2r
. . .
1
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
a
1k
a
2k
. . .
a
rk
⎤
⎥
⎥
⎦
et comme les p − r dernières coordonnées des vecteurs u
i sont nulles, on a aussi
t 1 u
1 + t 2 u
2 + · · · + t r u
r = u
k .
Puisque la transformation u → u
est une bijection, on en déduit t 1 u 1 + t 2 u 2 + · · · + t r u r = u k :
chaque u k est donc combinaison de u 1 , . . . , u r . Ainsi le sous-espace vectoriel V engendré
par u 1 , u 2 , . . . , u n est aussi engendré par les vecteurs indépendants u 1 , . . . , u r , donc V est de
dimension r.
4. Un exemple d'application
f 1 f 2 f 3 f 4
M 40 30 10 20
M
10 30 10 50
Dans l’un de ses secteurs de production, une entreprise fabrique quatre sortes de fils
synthétiques f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , essentiellement à partir de deux
matières premières M et M
. Dans le tableau ci-contre, les
chiffres indiquent le pourcentage de M et le pourcentage
de M
rentrant dans la composition de chaque fil.
Notons q i le nombre d’unités de fil f i produit chaque jour. Une production journalière
est ainsi caractérisée par le vecteur (q 1 ,q 2 ,q 3 ,q 4 ). Cherchons les vecteurs de production
qu’on peut obtenir à partir de quantités x et y des matières premières M et M
.
122 – UN EXEMPLE D’APPLICATION