par les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u d−1 . Par la propriété 1(a), on en déduit dim V d − 1, ce qui est
une contradiction. Ce raisonnement montre que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u d sont indépendants.
Puisqu’ils engendrent V , ils forment une base de V .
Propriété 3. Si V est le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n , la dimension de V est égale au rang de l’équation linéaire
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0.
Démonstration. Notons r le rang de l’équation. Si r = n, cette équation homogène a pour
unique solution x 1 = · · · = x n = 0 (résultat 2 page 114), donc les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont
indépendants et l’on a bien dim V = n = r.
Supposons maintenant 1 r < n. Supposons que, par la méthode de Gauss, on commence
par éliminer x 1 dans la deuxième équation du système. On obtient une équation linéaire
x 1 ˜
u 1 + x 2 ˜
u 2 + · · · + x n ˜
u n = 0, où l’on est passé d’un vecteur u i quelconque au vecteur ˜
u i en
faisant sur les coordonnées la même opération :
si u =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1
a 2
. . .
a p
⎤
⎥
⎥
⎦ est l’un des vecteurs u i , le vecteur ˜
u correspondant est de la forme
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 1
a 2 +ta 1
a 3
. . .
a p
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
et le scalaire t, choisi pour que la deuxième coordonnée de ˜
u 1 soit nulle, est le même pour
tous les vecteurs u i . Si l’on applique cette opération à un vecteur quelconque de K
p , cela
définit une transformation u → ˜
u de K
p . Le transformé de αu est α˜ u, le transformé de
u + v est ˜
u + ˜
v et le transformé du vecteur nul est le vecteur nul.
Pour simplifier, supposons que la méthode de Gauss appliquée à l’équation
x 1 u 1 +x 2 u 2 + · · · +x n u n = 0
conduise au système linéaire équivalent
(S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + a
12 x 2 + a
13 x 3 + · · · + a
1r x r + a
1 r+1 x r+1 + · · · + a
1n x n = 0
x 2 + a
23 x 3 + · · · + a
2r x r + a
2 r+1 x r+1 + · · · + a
2n x n = 0
. . .
. . .
. . .
x r + a
r r+1 x r+1 + · · · + a
rn x n = 0
(le système étant homogène, les égalités de compatibilité sont satisfaites.) Ce système s’écrit
aussi x 1 u
1 + x 2 u
2 + · · · + x n u
n = 0, où
u
1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, u
2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
12
1
0
. . .
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , u
r =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1r
a
2r
. . .
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, u
r+1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1 r+1
a
2 r+1
. . .
a
r r+1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , u
n =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1n
a
2n
. . .
a
rn
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
On passe des u i aux u
i par des opérations du même type que pour la transformation u → ˜
u ;
précisément, on effectue la même suite d’opérations sur tous les vecteurs, une opération
élémentaire étant l’une des suivantes :
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 121
une contradiction. Ce raisonnement montre que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u d sont indépendants.
Puisqu’ils engendrent V , ils forment une base de V .
Propriété 3. Si V est le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n , la dimension de V est égale au rang de l’équation linéaire
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0.
Démonstration. Notons r le rang de l’équation. Si r = n, cette équation homogène a pour
unique solution x 1 = · · · = x n = 0 (résultat 2 page 114), donc les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont
indépendants et l’on a bien dim V = n = r.
Supposons maintenant 1 r < n. Supposons que, par la méthode de Gauss, on commence
par éliminer x 1 dans la deuxième équation du système. On obtient une équation linéaire
x 1 ˜
u 1 + x 2 ˜
u 2 + · · · + x n ˜
u n = 0, où l’on est passé d’un vecteur u i quelconque au vecteur ˜
u i en
faisant sur les coordonnées la même opération :
si u =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1
a 2
. . .
a p
⎤
⎥
⎥
⎦ est l’un des vecteurs u i , le vecteur ˜
u correspondant est de la forme
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 1
a 2 +ta 1
a 3
. . .
a p
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
et le scalaire t, choisi pour que la deuxième coordonnée de ˜
u 1 soit nulle, est le même pour
tous les vecteurs u i . Si l’on applique cette opération à un vecteur quelconque de K
p , cela
définit une transformation u → ˜
u de K
p . Le transformé de αu est α˜ u, le transformé de
u + v est ˜
u + ˜
v et le transformé du vecteur nul est le vecteur nul.
Pour simplifier, supposons que la méthode de Gauss appliquée à l’équation
x 1 u 1 +x 2 u 2 + · · · +x n u n = 0
conduise au système linéaire équivalent
(S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 + a
12 x 2 + a
13 x 3 + · · · + a
1r x r + a
1 r+1 x r+1 + · · · + a
1n x n = 0
x 2 + a
23 x 3 + · · · + a
2r x r + a
2 r+1 x r+1 + · · · + a
2n x n = 0
. . .
. . .
. . .
x r + a
r r+1 x r+1 + · · · + a
rn x n = 0
(le système étant homogène, les égalités de compatibilité sont satisfaites.) Ce système s’écrit
aussi x 1 u
1 + x 2 u
2 + · · · + x n u
n = 0, où
u
1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, u
2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
12
1
0
. . .
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , u
r =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1r
a
2r
. . .
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, u
r+1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1 r+1
a
2 r+1
. . .
a
r r+1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , u
n =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a
1n
a
2n
. . .
a
rn
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
On passe des u i aux u
i par des opérations du même type que pour la transformation u → ˜
u ;
précisément, on effectue la même suite d’opérations sur tous les vecteurs, une opération
élémentaire étant l’une des suivantes :
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 121