Résumé des méthodes pour trouver une base
Soit V un sous-espace vectoriel.
® Si l’on connaît des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n qui engendrent V , alors en échelonnant ces vecteurs, on obtient une base de V . On trouvera au plus n vecteurs en
échelons, donc la dimension de V est inférieure ou égale à n.
® Si V est l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n inconnues,
on résout ce système par la méthode de Gauss : si le système est de rang r, les
solutions s’expriment de manière unique comme combinaison de n−r vecteurs
indépendants qui forment donc une base de V : dim V = n−r.
3.4 Propriétés de la dimension
Propriétés 1. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p .
a) Si V est engendré par n vecteurs, alors dim V n.
b) Si u 1 , u 2 , . . . , u q sont des vecteurs indépendants appartenant à V , alors q dim V .
c) Supposons que V est contenu dans un sous-espace vectoriel W de K
p . Alors on a
dim V dim W et de plus, on a V = W si et seulement si dim V = dim W .
Démonstration. Posons d = dim V et soit e 1 , e 2 , . . . , e d une base de V .
(a) Si l’on échelonne une suite de n vecteurs qui engendrent V , on obtient une base formée
d’au plus n vecteurs en échelons, donc la dimension de V est inférieure ou égale à n.
(b) Chaque vecteur u i est combinaison des vecteurs indépendants e 1 ,. . .,e d . Si l’on avait q>d,
alors d’après la proposition page 115, les vecteurs u 1 , . . . , u q ne seraient pas indépendants.
Par conséquent, on a q d.
(c) Les vecteurs e 1 , . . . , e d appartiennent à V donc à W , et ils sont indépendants. D’après
la propriété (b), on a donc d dim W . Supposons d = dim W et montrons que tout vecteur
u ∈ W appartient à V : puisqu’on a aussi V ⊂ W , cela impliquera l’égalité V = W . Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un vecteur w ∈ W tel que w ∈ V . Alors les
vecteurs e 1 ,e 2 ,. . .,e d ,w sont deux à deux différents, donc leur nombre est 1+d = 1 + dimW .
Puisqu’ils appartiennent au sous-espace W de dimension d, ils ne sont pas indépendants
(d’après (b)). On en déduit (théorème page 105) que w est combinaison linéaire de e 1 ,. . .,e d ,
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Propriétés 2. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p de dimension d.
a) Si u 1 ,u 2 ,. . .,u d sont des vecteurs indépendants appartenant à V , ils forment une base de V .
b) Si u 1 , u 2 , . . . , u d sont des vecteurs qui engendrent V , ils forment une base de V .
Démonstration. Soit V
le sous-espace vectoriel engendré par u 1 , u 2 , . . . , u d . Puisque les
vecteurs u i appartiennent à V , tout vecteur de V
est un vecteur de V , autrement dit on a
l’inclusion V
⊂ V . Si les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u d sont indépendants, ils forment une base de
V
, donc on a dim V
= d, c’est-à-dire dim V
= dim V . D’après la propriété 1(c), on en déduit
V = V
. Donc u 1 , u 2 , . . . , u d est une base de V .
Supposons maintenant que les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u d engendrent V . S’ils ne sont pas indépendants, l’un d’eux, u d par exemple, est combinaison linéaire des autres. Alors V est engendré
120 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL
Soit V un sous-espace vectoriel.
® Si l’on connaît des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n qui engendrent V , alors en échelonnant ces vecteurs, on obtient une base de V . On trouvera au plus n vecteurs en
échelons, donc la dimension de V est inférieure ou égale à n.
® Si V est l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n inconnues,
on résout ce système par la méthode de Gauss : si le système est de rang r, les
solutions s’expriment de manière unique comme combinaison de n−r vecteurs
indépendants qui forment donc une base de V : dim V = n−r.
3.4 Propriétés de la dimension
Propriétés 1. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p .
a) Si V est engendré par n vecteurs, alors dim V n.
b) Si u 1 , u 2 , . . . , u q sont des vecteurs indépendants appartenant à V , alors q dim V .
c) Supposons que V est contenu dans un sous-espace vectoriel W de K
p . Alors on a
dim V dim W et de plus, on a V = W si et seulement si dim V = dim W .
Démonstration. Posons d = dim V et soit e 1 , e 2 , . . . , e d une base de V .
(a) Si l’on échelonne une suite de n vecteurs qui engendrent V , on obtient une base formée
d’au plus n vecteurs en échelons, donc la dimension de V est inférieure ou égale à n.
(b) Chaque vecteur u i est combinaison des vecteurs indépendants e 1 ,. . .,e d . Si l’on avait q>d,
alors d’après la proposition page 115, les vecteurs u 1 , . . . , u q ne seraient pas indépendants.
Par conséquent, on a q d.
(c) Les vecteurs e 1 , . . . , e d appartiennent à V donc à W , et ils sont indépendants. D’après
la propriété (b), on a donc d dim W . Supposons d = dim W et montrons que tout vecteur
u ∈ W appartient à V : puisqu’on a aussi V ⊂ W , cela impliquera l’égalité V = W . Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe un vecteur w ∈ W tel que w ∈ V . Alors les
vecteurs e 1 ,e 2 ,. . .,e d ,w sont deux à deux différents, donc leur nombre est 1+d = 1 + dimW .
Puisqu’ils appartiennent au sous-espace W de dimension d, ils ne sont pas indépendants
(d’après (b)). On en déduit (théorème page 105) que w est combinaison linéaire de e 1 ,. . .,e d ,
ce qui est contraire à l’hypothèse.
Propriétés 2. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p de dimension d.
a) Si u 1 ,u 2 ,. . .,u d sont des vecteurs indépendants appartenant à V , ils forment une base de V .
b) Si u 1 , u 2 , . . . , u d sont des vecteurs qui engendrent V , ils forment une base de V .
Démonstration. Soit V
le sous-espace vectoriel engendré par u 1 , u 2 , . . . , u d . Puisque les
vecteurs u i appartiennent à V , tout vecteur de V
est un vecteur de V , autrement dit on a
l’inclusion V
⊂ V . Si les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u d sont indépendants, ils forment une base de
V
, donc on a dim V
= d, c’est-à-dire dim V
= dim V . D’après la propriété 1(c), on en déduit
V = V
. Donc u 1 , u 2 , . . . , u d est une base de V .
Supposons maintenant que les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u d engendrent V . S’ils ne sont pas indépendants, l’un d’eux, u d par exemple, est combinaison linéaire des autres. Alors V est engendré
120 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL