Proposition. Si l’on applique les opérations précédentes aux vecteurs u 1 , . . . , u n , on
obtient des vecteurs qui engendrent le même sous-espace vectoriel V .
Démonstration. Posons u
1 = u 1 + bu 2 , où b est un scalaire quelconque. Le vecteur u
1 est
combinaison linéaire de u 1 et u 2 , donc u
1 appartient à V . Il s’ensuit que toute combinaison
linéaire des vecteurs u
1 , u 2 , . . . , u n est dans V . De même, u 1 est combinaison linéaire de u
1
et u 2 donc tout vecteur de V est combinaison linéaire de u
1 , u 2 , . . . u n .
Nous allons voir que par les opérations (a), (b) et (c), on peut transformer les vecteurs
u 1 , . . . , u n en une suite échelonnée.
Considérons un vecteur u =
⎡
⎣
a 1
. . .
a p
⎤
⎦ et supposons que sa k-ième coordonnée a k est
non nulle. Si v =
⎡
⎣
b 1
. . .
b p
⎤
⎦ est un vecteur quelconque, le vecteur v
= v − (b k /a k )u a pour
k-ième coordonnée b k − (b k /a k )a k = 0 et s’obtient à partir de u, v par l’opération (c).
Supposons par exemple que la première coordonnée de u 1 n’est pas nulle. En ajoutant à chacun des vecteurs u 2 , . . . , u n un multiple convenable de u 1 , on peut ainsi
obtenir des vecteurs u
2 ,. . .,u
n dont la première coordonnée est nulle. En poursuivant
ces opérations, on formera des vecteurs en échelon.
Exemple. Échelonnons la suite de vecteurs
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u 2 =
⎡
⎣
3
−1
1
4
⎤
⎦ , u 3 =
⎡
⎣
1
1
1
2
⎤
⎦ , u 4 =
⎡
⎣
−2
4
1
1
⎤
⎦
Étape 1. En ajoutant 3u 1 à −2u 2 (opérations (b) et (c)), on obtient le vecteur u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦
dont la première coordonnée est nulle ; de même, en posant u
3 = 2u 3 − u 1 et
u
4 = u 4 + u 1 , il vient
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
3 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
4 =
⎡
⎣
0
4
2
4
⎤
⎦
Étape 2. Soustrayons u
2 à u
3 et 2u
2 à u
4 : on trouve la suite de vecteurs
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
3 = u
3 − u
2 =
⎡
⎣
0
0
0
0
⎤
⎦ , u
4 = u
4 − 2u
2 =
⎡
⎣
0
0
0
2
⎤
⎦
et les vecteurs u 1 , u
2 , u
4 sont échelonnés.
Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 engendré par u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 . D’après la proposition,
V est aussi engendré par u 1 , u
2 , u
3 , u
4 , c’est-à-dire par u 1 , u
2 , u
4 puisque u
3 = 0.
Les trois vecteurs u 1 , u
2 , u
4 étant échelonnés, ils sont indépendants : les vecteurs
u 1 , u
2 , u
4 forment donc une base de V . Par conséquent, on a dim V = 3.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 119
obtient des vecteurs qui engendrent le même sous-espace vectoriel V .
Démonstration. Posons u
1 = u 1 + bu 2 , où b est un scalaire quelconque. Le vecteur u
1 est
combinaison linéaire de u 1 et u 2 , donc u
1 appartient à V . Il s’ensuit que toute combinaison
linéaire des vecteurs u
1 , u 2 , . . . , u n est dans V . De même, u 1 est combinaison linéaire de u
1
et u 2 donc tout vecteur de V est combinaison linéaire de u
1 , u 2 , . . . u n .
Nous allons voir que par les opérations (a), (b) et (c), on peut transformer les vecteurs
u 1 , . . . , u n en une suite échelonnée.
Considérons un vecteur u =
⎡
⎣
a 1
. . .
a p
⎤
⎦ et supposons que sa k-ième coordonnée a k est
non nulle. Si v =
⎡
⎣
b 1
. . .
b p
⎤
⎦ est un vecteur quelconque, le vecteur v
= v − (b k /a k )u a pour
k-ième coordonnée b k − (b k /a k )a k = 0 et s’obtient à partir de u, v par l’opération (c).
Supposons par exemple que la première coordonnée de u 1 n’est pas nulle. En ajoutant à chacun des vecteurs u 2 , . . . , u n un multiple convenable de u 1 , on peut ainsi
obtenir des vecteurs u
2 ,. . .,u
n dont la première coordonnée est nulle. En poursuivant
ces opérations, on formera des vecteurs en échelon.
Exemple. Échelonnons la suite de vecteurs
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u 2 =
⎡
⎣
3
−1
1
4
⎤
⎦ , u 3 =
⎡
⎣
1
1
1
2
⎤
⎦ , u 4 =
⎡
⎣
−2
4
1
1
⎤
⎦
Étape 1. En ajoutant 3u 1 à −2u 2 (opérations (b) et (c)), on obtient le vecteur u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦
dont la première coordonnée est nulle ; de même, en posant u
3 = 2u 3 − u 1 et
u
4 = u 4 + u 1 , il vient
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
3 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
4 =
⎡
⎣
0
4
2
4
⎤
⎦
Étape 2. Soustrayons u
2 à u
3 et 2u
2 à u
4 : on trouve la suite de vecteurs
u 1 =
⎡
⎣
2
0
1
3
⎤
⎦ , u
2 =
⎡
⎣
0
2
1
1
⎤
⎦ , u
3 = u
3 − u
2 =
⎡
⎣
0
0
0
0
⎤
⎦ , u
4 = u
4 − 2u
2 =
⎡
⎣
0
0
0
2
⎤
⎦
et les vecteurs u 1 , u
2 , u
4 sont échelonnés.
Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 engendré par u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 . D’après la proposition,
V est aussi engendré par u 1 , u
2 , u
3 , u
4 , c’est-à-dire par u 1 , u
2 , u
4 puisque u
3 = 0.
Les trois vecteurs u 1 , u
2 , u
4 étant échelonnés, ils sont indépendants : les vecteurs
u 1 , u
2 , u
4 forment donc une base de V . Par conséquent, on a dim V = 3.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 119