3.3 Recherche d'une base
Vecteurs en échelons
Définition
Soit u 1 , u 2 , . . . , u n une suite de vecteurs de K
p . On dit que la suite est échelonnée
si ces vecteurs sont tous non nuls et si, pour tout i = 2, 3, . . . , n, la première coordonnée non nulle de u i est d’indice strictement supérieur à l’indice de la première
coordonnée non nulle de u i−1 .
Exemple. Voici une suite échelonnée de vecteurs de R
5 :
u 1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
2
a 2
a 3
a 4
a 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 2 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
7
b 3
b 4
b 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 3 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
0
0
1
c 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 4 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
0
0
0
3
⎤
⎥
⎥
⎦
L’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 = 0 s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2x 1 = 0
a 2 x 1 + 7x 2 = 0
a 3 x 1 + b 3 x 2 = 0
a 4 x 1 + b 4 x 2 + x 3 = 0
a 5 x 1 + b 5 x 2 + c 5 x 3 + 3x 4 = 0
La première équation donne x 1 = 0, puis la deuxième s’écrit a 2 × 0 + 7x 2 = 0, donc
x 2 = 0 ; la troisième équation est satisfaite, de la quatrième on tire x 3 = 0, et enfin
la dernière équation s’écrit 3x 4 = 0, donc x 4 = 0. L’équation linéaire a pour seule
solution x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0, donc les vecteurs u 1 , u 2 , u 3 , u 4 sont indépendants.
Ce raisonnement pouvant s’appliquer à une suite échelonnée quelconque, on a la
proposition suivante.
Proposition. Des vecteurs échelonnés sont indépendants.
Recherche d'une base
Dans ce paragraphe, V est le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n .
On peut effectuer sur les vecteurs u 1 , . . . , u n les mêmes opérations que celles que
l’on pratique sur les équations au cours de la méthode de Gauss.
opération (a) : changer l’ordre des vecteurs ;
opération (b) : multiplier un vecteur par un scalaire a = 0 ;
opération (c) : ajouter à l’un des vecteurs un multiple d’un autre, c’est-à-dire remplacer u i par u
i = u i + au j , où i = j et où a est un scalaire quelconque.
Puisqu’on a u i = u
i − au j , l’opération (c) permet de retrouver u i à partir de u
i .
118 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL
Vecteurs en échelons
Définition
Soit u 1 , u 2 , . . . , u n une suite de vecteurs de K
p . On dit que la suite est échelonnée
si ces vecteurs sont tous non nuls et si, pour tout i = 2, 3, . . . , n, la première coordonnée non nulle de u i est d’indice strictement supérieur à l’indice de la première
coordonnée non nulle de u i−1 .
Exemple. Voici une suite échelonnée de vecteurs de R
5 :
u 1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
2
a 2
a 3
a 4
a 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 2 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
7
b 3
b 4
b 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 3 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
0
0
1
c 5
⎤
⎥
⎥
⎦ , u 4 =
⎡
⎢
⎢
⎣
0
0
0
0
3
⎤
⎥
⎥
⎦
L’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 = 0 s’écrit
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2x 1 = 0
a 2 x 1 + 7x 2 = 0
a 3 x 1 + b 3 x 2 = 0
a 4 x 1 + b 4 x 2 + x 3 = 0
a 5 x 1 + b 5 x 2 + c 5 x 3 + 3x 4 = 0
La première équation donne x 1 = 0, puis la deuxième s’écrit a 2 × 0 + 7x 2 = 0, donc
x 2 = 0 ; la troisième équation est satisfaite, de la quatrième on tire x 3 = 0, et enfin
la dernière équation s’écrit 3x 4 = 0, donc x 4 = 0. L’équation linéaire a pour seule
solution x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0, donc les vecteurs u 1 , u 2 , u 3 , u 4 sont indépendants.
Ce raisonnement pouvant s’appliquer à une suite échelonnée quelconque, on a la
proposition suivante.
Proposition. Des vecteurs échelonnés sont indépendants.
Recherche d'une base
Dans ce paragraphe, V est le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n .
On peut effectuer sur les vecteurs u 1 , . . . , u n les mêmes opérations que celles que
l’on pratique sur les équations au cours de la méthode de Gauss.
opération (a) : changer l’ordre des vecteurs ;
opération (b) : multiplier un vecteur par un scalaire a = 0 ;
opération (c) : ajouter à l’un des vecteurs un multiple d’un autre, c’est-à-dire remplacer u i par u
i = u i + au j , où i = j et où a est un scalaire quelconque.
Puisqu’on a u i = u
i − au j , l’opération (c) permet de retrouver u i à partir de u
i .
118 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL