Sous-espaces affines de R 3
Définition
Soit V un sous-espace vectoriel de R
3 . Si A est un point de R
3 , le sous-espace affine
passant par A et de direction V est l’ensemble des points M ∈ R
3 tels que
− − − − − − − →
AM ∈ V .
® Supposons par exemple que V est le plan d’équation ax + by + cz = 0 et que les
coordonnées de A sont (x 0 , y 0 , z 0 ). Le plan affine passant par A et de direction
V a pour équation a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0.
® Soit u = (p, q, r) un vecteur non nul. La droite affine passant par (x 0 , y 0 , z 0 ) et de
vecteur directeur u est l’ensemble des points (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + t(p,q,r), où t parcourt R.
Plans en feuillets. Soient P et P
deux plans affines de R
3 , sécants selon
une droite D. Les équations de ces plans sont (P ) : ax + by + cz + d = 0 ,
(P
) : a
x + b
y + c
z + d
= 0.
Cherchons la condition pour qu’un plan Π d’équation ux + vy + wz + h = 0 contienne
la droite D.
R
3
D
Π
P
R
3
P
La droite D est l’ensemble des solutions du système linéaire
(1)
ax + by + cz = −d
a
x + b
y + c
z = −d
qui est par hypothèse de rang 2.
L’intersection Π ∩ D a donc pour équations
(2)
⎧
⎨
⎩
ax + by + cz = −d
a
x + b
y + c
z = −d
ux + vy + wz = −h
Supposons que le plan Π contient la droite D. Alors les systèmes (1) et (2) ont les mêmes solutions, donc le système (2)
est aussi de rang 2. On en déduit que, par la méthode de Gauss, la troisième équation se
transforme en une égalité de compatibilité de la forme 0=λ(−d)+λ
(−d
)+μ(−h). Cette
égalité est satisfaite puisque (2) a des solutions. Il vient donc pour tout (x, y, z) ∈ R
3 :
λ(ax + by + cz + d) + λ
(a
x + b
y + c
z + d
) + μ(ux + vy + wz + h) = 0
On a μ = 0, car les équations de P et P
ne sont pas proportionnelles. Par conséquent,
ux + vy + wz + h = −(λ/μ)(ax + by + cz + d) − (λ
/μ)(a
x + b
y + c
z + d
) ,
autrement dit : l’équation de Π est combinaison des équations de P et de P
.
Réciproquement, supposons que l’équation de Π est combinaison des équations de P et
de P
. Tout point de D satisfait à la fois l’équation de P et celle de P
, donc satisfait
l’équation de Π : tout point de D est donc aussi dans Π.
Résumons : si P et P
sont des plans de R
3 sécants selon une droite, les plans contenant cette droite sont ceux dont l’équation est combinaison des équations de P et de P
.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 117
Définition
Soit V un sous-espace vectoriel de R
3 . Si A est un point de R
3 , le sous-espace affine
passant par A et de direction V est l’ensemble des points M ∈ R
3 tels que
− − − − − − − →
AM ∈ V .
® Supposons par exemple que V est le plan d’équation ax + by + cz = 0 et que les
coordonnées de A sont (x 0 , y 0 , z 0 ). Le plan affine passant par A et de direction
V a pour équation a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0.
® Soit u = (p, q, r) un vecteur non nul. La droite affine passant par (x 0 , y 0 , z 0 ) et de
vecteur directeur u est l’ensemble des points (x 0 ,y 0 ,z 0 ) + t(p,q,r), où t parcourt R.
Plans en feuillets. Soient P et P
deux plans affines de R
3 , sécants selon
une droite D. Les équations de ces plans sont (P ) : ax + by + cz + d = 0 ,
(P
) : a
x + b
y + c
z + d
= 0.
Cherchons la condition pour qu’un plan Π d’équation ux + vy + wz + h = 0 contienne
la droite D.
R
3
D
Π
P
R
3
P
La droite D est l’ensemble des solutions du système linéaire
(1)
ax + by + cz = −d
a
x + b
y + c
z = −d
qui est par hypothèse de rang 2.
L’intersection Π ∩ D a donc pour équations
(2)
⎧
⎨
⎩
ax + by + cz = −d
a
x + b
y + c
z = −d
ux + vy + wz = −h
Supposons que le plan Π contient la droite D. Alors les systèmes (1) et (2) ont les mêmes solutions, donc le système (2)
est aussi de rang 2. On en déduit que, par la méthode de Gauss, la troisième équation se
transforme en une égalité de compatibilité de la forme 0=λ(−d)+λ
(−d
)+μ(−h). Cette
égalité est satisfaite puisque (2) a des solutions. Il vient donc pour tout (x, y, z) ∈ R
3 :
λ(ax + by + cz + d) + λ
(a
x + b
y + c
z + d
) + μ(ux + vy + wz + h) = 0
On a μ = 0, car les équations de P et P
ne sont pas proportionnelles. Par conséquent,
ux + vy + wz + h = −(λ/μ)(ax + by + cz + d) − (λ
/μ)(a
x + b
y + c
z + d
) ,
autrement dit : l’équation de Π est combinaison des équations de P et de P
.
Réciproquement, supposons que l’équation de Π est combinaison des équations de P et
de P
. Tout point de D satisfait à la fois l’équation de P et celle de P
, donc satisfait
l’équation de Π : tout point de D est donc aussi dans Π.
Résumons : si P et P
sont des plans de R
3 sécants selon une droite, les plans contenant cette droite sont ceux dont l’équation est combinaison des équations de P et de P
.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 117