sition précédente, les vecteurs v 1 ,. . .,v q ne seraient pas indépendants. On a donc qm. En échangeant le rôle des bases dans ce raisonnement, on montre de même que l’on a mq, d’où m=q.
Définition
Si V est un sous-espace vectoriel de K
p , le nombre d’éléments d’une base de V
s’appelle la dimension de V et se note dim V .
Voici des conséquences immédiates de la définition.
a) Puisque la base canonique de K
p possède p éléments, on a dim K
p = p.
b) Si V est un sous-espace vectoriel de K
p , alors dim V p.
En effet, une base de V étant formée de vecteurs indépendants, le nombre de ces
vecteurs n’excède pas p.
c) Si un système linéaire homogène à n inconnues est de rang r systèmes linéaires homogènes qui ont les mêmes solutions ont donc le même rang.
d) Soit V un sous-espace vectoriel de K
p . Si dimV = d < p, alors tout système d’équations définissant V est de rang p−d. Un système minimal d’équations définissant
V possède donc p−d équations.
3.2 Droites, plans, hyperplans
® Un sous-espace vectoriel de dimension 1 s’appelle une droite ; un sous-espace
vectoriel de dimension 2 s’appelle un plan.
® Un sous-espace vectoriel de K
p de dimension p−1 s’appelle un hyperplan de K
p .
Un hyperplan de K
p est donc défini par une seule équation (car p − (p−1) = 1).
Exemples
® Si a, b, c, d sont des nombres réels non tous nuls, le sous-espace vectoriel de R
4
d’équation ax + by + cz + dt = 0 est un hyperplan de R
4 .
® Si a, b, c sont des scalaires non tous nuls, le sous-espace vectoriel de R
3 d’équation
ax + by + cz = 0 est un plan.
Par exemple, le plan d’équation x − 2z = 0 a pour base les vecteurs (2,0,1),(0,1,0).
® Pour une droite de R
3 , le nombre minimal d’équations est 3−1 = 2 : une droite
de R
3 est définie par deux équations non proportionnelles.
® Le sous-espace vectoriel de R
3 d’équations
x − y + z = 0
2x + y − z = 0
est la droite de vecteur directeur (0, 1, 1) ; c’est l’intersection du plan d’équation x − y + z = 0 et du
plan d’équation 2x + y − z = 0.
116 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL