3. Dimension d'un sous-espace vectoriel
3.1 Définition de la dimension
Voici une conséquence très importante du résultat 3 précédent.
Proposition. Soient u 1 , . . . , u m des vecteurs indépendants appartenant à K
p . Supposons que v 1 , . . . , v q sont des vecteurs de K
p et que chaque v i est combinaison linéaire de
u 1 , . . . , u m . Si q > m, les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas indépendants.
Démonstration. Par hypothèse, chaque vecteur v i s’écrit v i = a 1i u 1 + a 2i u 2 + · · · + a mi u m ,
où les a ji sont des scalaires. Soient x 1 , . . . , x q des scalaires et soit e = x 1 v 1 + · · · + x q v q .
On a x i v i = x i a 1i u 1 + x i a 2i u 2 + · · · + x i a mi u m , donc le coefficient de u 1 dans la combinaison linéaire e est a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1q x q . De même, le coefficient de u i dans e est
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a iq x q . Supposons e = 0. Puisque u 1 , . . . , u m sont indépendants, il vient
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1q x q = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2q x q = 0
. . .
. . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mq x q = 0
Si q > m, ce système a plus d’inconnues que d’équations et comme il est homogène, il a une
infinité de solutions (résultat 2 (c)). L’équation linéaire x 1 v 1 + · · · + x q v q = 0 n’a pas que la
solution nulle, donc les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas indépendants.
Corollaire. Si v 1 , . . . , v q sont des vecteurs indépendants de K
p , alors on a q p.
Démonstration. Tout vecteur de K
p est combinaison linéaire des vecteurs canoniques
e 1 , . . . , e p qui sont indépendants. Chaque vecteur v i est donc combinaison de e 1 , . . . , e p .
Si l’on a q > p, alors d’après la proposition précédente, les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas
indépendants. Si les vecteurs v 1 , . . . , v q sont indépendants, c’est donc que l’on a q p.
Théorème. Tout sous-espace vectoriel de K
p possède des bases.
Démonstration. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p . D’après le corollaire précédent, toute
partie de K
p formée de vecteurs indépendants possède au plus p éléments. Choisissons une partie {u 1 ,u 2 ,. . .,u d } de V formée de vecteurs indépendants et ayant le plus grand nombre possible
d’éléments. Soit v∈V . Si v est l’un des vecteurs u i , alors v est combinaison linéaire de u 1 ,. . .,u d .
Supposons que v est différent de tous les u i . Alors l’ensemble {u 1 ,u 2 ,. . .,u d ,v} possède d + 1
éléments, donc les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u d ,v ne sont pas indépendants. D’après le théorème page
105, v est combinaison linéaire de u 1 ,u 2 ,. . .,u d . Ainsi tout vecteur de V est combinaison linéaire
de u 1 ,. . .,u d . Puisque ces vecteurs sont indépendants, ils forment par définition une base de V .
Proposition. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p . Toutes les bases de V ont le même
nombre d’éléments.
Démonstration. Supposons que les vecteurs u 1 , . . . , u m forment une base de V et que les
vecteurs v 1 ,. . .,v q forment aussi une base de V . Chaque vecteur v i appartient à V , donc est combinaison linéaire des vecteurs indépendants u 1 ,. . .,u m . Si l’on avait q>m, alors d’après la propoChapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 115
3.1 Définition de la dimension
Voici une conséquence très importante du résultat 3 précédent.
Proposition. Soient u 1 , . . . , u m des vecteurs indépendants appartenant à K
p . Supposons que v 1 , . . . , v q sont des vecteurs de K
p et que chaque v i est combinaison linéaire de
u 1 , . . . , u m . Si q > m, les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas indépendants.
Démonstration. Par hypothèse, chaque vecteur v i s’écrit v i = a 1i u 1 + a 2i u 2 + · · · + a mi u m ,
où les a ji sont des scalaires. Soient x 1 , . . . , x q des scalaires et soit e = x 1 v 1 + · · · + x q v q .
On a x i v i = x i a 1i u 1 + x i a 2i u 2 + · · · + x i a mi u m , donc le coefficient de u 1 dans la combinaison linéaire e est a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1q x q . De même, le coefficient de u i dans e est
a i1 x 1 + a i2 x 2 + · · · + a iq x q . Supposons e = 0. Puisque u 1 , . . . , u m sont indépendants, il vient
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1q x q = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2q x q = 0
. . .
. . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mq x q = 0
Si q > m, ce système a plus d’inconnues que d’équations et comme il est homogène, il a une
infinité de solutions (résultat 2 (c)). L’équation linéaire x 1 v 1 + · · · + x q v q = 0 n’a pas que la
solution nulle, donc les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas indépendants.
Corollaire. Si v 1 , . . . , v q sont des vecteurs indépendants de K
p , alors on a q p.
Démonstration. Tout vecteur de K
p est combinaison linéaire des vecteurs canoniques
e 1 , . . . , e p qui sont indépendants. Chaque vecteur v i est donc combinaison de e 1 , . . . , e p .
Si l’on a q > p, alors d’après la proposition précédente, les vecteurs v 1 , . . . , v q ne sont pas
indépendants. Si les vecteurs v 1 , . . . , v q sont indépendants, c’est donc que l’on a q p.
Théorème. Tout sous-espace vectoriel de K
p possède des bases.
Démonstration. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p . D’après le corollaire précédent, toute
partie de K
p formée de vecteurs indépendants possède au plus p éléments. Choisissons une partie {u 1 ,u 2 ,. . .,u d } de V formée de vecteurs indépendants et ayant le plus grand nombre possible
d’éléments. Soit v∈V . Si v est l’un des vecteurs u i , alors v est combinaison linéaire de u 1 ,. . .,u d .
Supposons que v est différent de tous les u i . Alors l’ensemble {u 1 ,u 2 ,. . .,u d ,v} possède d + 1
éléments, donc les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u d ,v ne sont pas indépendants. D’après le théorème page
105, v est combinaison linéaire de u 1 ,u 2 ,. . .,u d . Ainsi tout vecteur de V est combinaison linéaire
de u 1 ,. . .,u d . Puisque ces vecteurs sont indépendants, ils forment par définition une base de V .
Proposition. Soit V un sous-espace vectoriel de K
p . Toutes les bases de V ont le même
nombre d’éléments.
Démonstration. Supposons que les vecteurs u 1 , . . . , u m forment une base de V et que les
vecteurs v 1 ,. . .,v q forment aussi une base de V . Chaque vecteur v i appartient à V , donc est combinaison linéaire des vecteurs indépendants u 1 ,. . .,u m . Si l’on avait q>m, alors d’après la propoChapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
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