Résultats 2. Supposons que le système linéaire (S) est homogène.
a) Si r < n, l’ensemble des solutions du système est un sous-espace vectoriel de K
n ayant
une base formée de n−r vecteurs.
b) Le système a une unique solution si et seulement si r = n et dans ce cas, la solution est
le vecteur nul.
c) Si p < n, le système a une infinité de solutions.
La proposition suivante concerne le cas important des systèmes linéaires ayant autant
d’équations que d’inconnues (p = n). Sous forme vectorielle, un tel système s’écrit
x 1 u 1 + · · · + x n u n = b, où u 1 , . . . , u n et b sont des vecteurs de K
n .
Résultat 3. Soient u 1 , . . . , u n des vecteurs de K
n . Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) le rang du système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0 est égal à n ;
b) les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants ;
c) quel que soit le vecteur b ∈ K
n , l’équation linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b a une unique
solution ;
d) l’application (x 1 , . . . , x n ) → x 1 u 1 + · · · + x n u n de K
n dans K
n est bijective.
Démonstrations des résultats. Nous utilisons la discussion et les notations du paragraphe
précédent, pages 111-112.
1. S’il y a au moins une solution, c’est que les éventuelles égalités de compatibilité sont satisfaites. Si de plus r < n, alors on est dans le second cas et il y a une infinité de solutions ;
si p < n, alors on a r < n, car r p : cela montre (b). Si r = p < n, il n’y a pas d’égalité
de compatibilité et l’on est encore dans le second cas.
2. Puisque le système est homogène, les égalités de compatibilité sont toutes satisfaites. Si
r < n, on est dans le second cas et nous savons que le vecteur w est nul. Les solutions sont
donc les combinaisons linéaires des n−r vecteurs indépendants w r+1 , . . . , w n . Puisqu’on a
toujours r n, on en déduit que si le système n’a qu’une solution, alors r = n. Réciproquement, si r = n, alors on est dans le premier cas et il y a donc une unique solution qui est
nécessairement le vecteur nul. Nous avons ainsi montré les propriétés (a) et (b). La propriété
(c) résulte de (a) : en effet, on a toujours r p, donc si p < n, alors on a r < n.
3. Les vecteurs u 1 ,. . .,u n sont indépendants si et seulement si l’équation x 1 u 1 + · · ·+ x n u n = 0
a pour seule solution x 1 = · · · = x n = 0. D’après le résultat 2 (b), cela équivaut à dire que
le rang de cette équation linéaire est n, d’où l’équivalence entre (a) et (b).
Soit b ∈ K
n . Les systèmes linéaires x 1 u 1 + · · · + x n u n = b et x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0 on même
rang. Si les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants, le système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b
a donc pour rang n. On est alors dans le premier cas et le système a une unique solution.
Réciproquement, si le système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b a une unique solution, alors
d’après le résultat 1 (a), l’inégalité r < n n’est pas vraie ; puisqu’on a r n, il s’ensuit r = n.
Nous avons ainsi montré l’équivalence entre (a) et (c).
Les propriétés (c) et (d) sont équivalentes par définition d’une application bijective.
114 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL
a) Si r < n, l’ensemble des solutions du système est un sous-espace vectoriel de K
n ayant
une base formée de n−r vecteurs.
b) Le système a une unique solution si et seulement si r = n et dans ce cas, la solution est
le vecteur nul.
c) Si p < n, le système a une infinité de solutions.
La proposition suivante concerne le cas important des systèmes linéaires ayant autant
d’équations que d’inconnues (p = n). Sous forme vectorielle, un tel système s’écrit
x 1 u 1 + · · · + x n u n = b, où u 1 , . . . , u n et b sont des vecteurs de K
n .
Résultat 3. Soient u 1 , . . . , u n des vecteurs de K
n . Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) le rang du système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0 est égal à n ;
b) les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants ;
c) quel que soit le vecteur b ∈ K
n , l’équation linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b a une unique
solution ;
d) l’application (x 1 , . . . , x n ) → x 1 u 1 + · · · + x n u n de K
n dans K
n est bijective.
Démonstrations des résultats. Nous utilisons la discussion et les notations du paragraphe
précédent, pages 111-112.
1. S’il y a au moins une solution, c’est que les éventuelles égalités de compatibilité sont satisfaites. Si de plus r < n, alors on est dans le second cas et il y a une infinité de solutions ;
si p < n, alors on a r < n, car r p : cela montre (b). Si r = p < n, il n’y a pas d’égalité
de compatibilité et l’on est encore dans le second cas.
2. Puisque le système est homogène, les égalités de compatibilité sont toutes satisfaites. Si
r < n, on est dans le second cas et nous savons que le vecteur w est nul. Les solutions sont
donc les combinaisons linéaires des n−r vecteurs indépendants w r+1 , . . . , w n . Puisqu’on a
toujours r n, on en déduit que si le système n’a qu’une solution, alors r = n. Réciproquement, si r = n, alors on est dans le premier cas et il y a donc une unique solution qui est
nécessairement le vecteur nul. Nous avons ainsi montré les propriétés (a) et (b). La propriété
(c) résulte de (a) : en effet, on a toujours r p, donc si p < n, alors on a r < n.
3. Les vecteurs u 1 ,. . .,u n sont indépendants si et seulement si l’équation x 1 u 1 + · · ·+ x n u n = 0
a pour seule solution x 1 = · · · = x n = 0. D’après le résultat 2 (b), cela équivaut à dire que
le rang de cette équation linéaire est n, d’où l’équivalence entre (a) et (b).
Soit b ∈ K
n . Les systèmes linéaires x 1 u 1 + · · · + x n u n = b et x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0 on même
rang. Si les vecteurs u 1 , . . . , u n sont indépendants, le système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b
a donc pour rang n. On est alors dans le premier cas et le système a une unique solution.
Réciproquement, si le système linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = b a une unique solution, alors
d’après le résultat 1 (a), l’inégalité r < n n’est pas vraie ; puisqu’on a r n, il s’ensuit r = n.
Nous avons ainsi montré l’équivalence entre (a) et (c).
Les propriétés (c) et (d) sont équivalentes par définition d’une application bijective.
114 – DIMENSION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL