une solution :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1 (eq 1 )
x 1 + x 2 + x 3 = y 2 (eq 2 )
2x 1 + x 2 + 2x 3 = y 3 (eq 3 )
x 1 + x 3 = y 4 (eq 4 )
On a les systèmes équivalents :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1
(eq 1 )
2x 2
= −y 1 + y 2
(eq
2 )=(eq 2 )−(eq 1 )
3x 2
= −2y 1 + y 3 (eq
3 )=(eq 3 )−2(eq 1 )
x 2
= −y 1 + y 4
(eq
4 )=(eq 4 )−(eq 1 )
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1
(eq 1 )
2x 2
= −y 1 + y 2
(eq
2 )
0
=−2(−2y 1 + y 3 ) + 3(−y 1 + y 2 ) −2(eq
3 )+3(eq
2 )
0
=−2(−y 1 + y 4 ) + (−y 1 + y 2 )
−2(eq
4 )+(eq
2 )
Pour qu’il y ait une solution (x 1 , x 2 , x 3 ), il faut et il suffit que les égalités de
compatibilité soient satisfaites. Le sous-espace vectoriel V a donc pour équations
y 1 + 3y 2 − 2y 3 = 0
y 1 + y 2 − 2y 4 = 0
.
® Par exemple, le vecteur (5, 1, 4, 3) appartient à V et (0, 4, 6, 1) n’y appartient pas.
® Soient v 1 = (0, 1, 1, 0) et v 2 = (1, 1, −1, 1). Quelles sont les combinaisons de
v 1 et v 2 qui appartiennent à V ? Les coordonnées d’un vecteur y combinaison de v 1 et v 2 sont de la forme
⎡
⎣
y 1
y 2
y 3
y 4
⎤
⎦ = t
⎡
⎣
0
1
1
0
⎤
⎦ + t
⎡
⎣
1
1
−1
1
⎤
⎦ =
⎡
⎣
t
t + t
t − t
t
⎤
⎦ . On a
y 1 + 3y 2 − 2y 3 = t
+ 3(t + t
) − 2(t − t
) = t + 6t
et y 1 + y 2 − 2y 4 = t
+ (t + t
) − 2t
= t.
Le vecteur y appartient à V si et seulement si l’on a t + 6t
= t = 0, c’est-à-dire
si et seulement si t = t
= 0. Par conséquent, une combinaison linéaire de v 1 et v 2
n’appartient à V que si c’est le vecteur nul.
2.3 Les résultats généraux
La méthode de Gauss donne les principaux renseignement sur les solutions d’un
système linéaire.
Résultats 1. Supposons que le système linéaire (S) possède p équations, n inconnues
et que son rang est r 1.
a) Si r < n et s’il y a au moins une solution, alors il y a une infinité de solutions.
b) Si p < n et s’il y a au moins une solution, alors il y a une infinité de solutions.
c) Si l’on a r = p < n, alors le système possède une infinité de solutions.
Concernant les systèmes homogènes, on a les résultats suivants.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 113
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1 (eq 1 )
x 1 + x 2 + x 3 = y 2 (eq 2 )
2x 1 + x 2 + 2x 3 = y 3 (eq 3 )
x 1 + x 3 = y 4 (eq 4 )
On a les systèmes équivalents :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1
(eq 1 )
2x 2
= −y 1 + y 2
(eq
2 )=(eq 2 )−(eq 1 )
3x 2
= −2y 1 + y 3 (eq
3 )=(eq 3 )−2(eq 1 )
x 2
= −y 1 + y 4
(eq
4 )=(eq 4 )−(eq 1 )
⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 − x 2 + x 3 = y 1
(eq 1 )
2x 2
= −y 1 + y 2
(eq
2 )
0
=−2(−2y 1 + y 3 ) + 3(−y 1 + y 2 ) −2(eq
3 )+3(eq
2 )
0
=−2(−y 1 + y 4 ) + (−y 1 + y 2 )
−2(eq
4 )+(eq
2 )
Pour qu’il y ait une solution (x 1 , x 2 , x 3 ), il faut et il suffit que les égalités de
compatibilité soient satisfaites. Le sous-espace vectoriel V a donc pour équations
y 1 + 3y 2 − 2y 3 = 0
y 1 + y 2 − 2y 4 = 0
.
® Par exemple, le vecteur (5, 1, 4, 3) appartient à V et (0, 4, 6, 1) n’y appartient pas.
® Soient v 1 = (0, 1, 1, 0) et v 2 = (1, 1, −1, 1). Quelles sont les combinaisons de
v 1 et v 2 qui appartiennent à V ? Les coordonnées d’un vecteur y combinaison de v 1 et v 2 sont de la forme
⎡
⎣
y 1
y 2
y 3
y 4
⎤
⎦ = t
⎡
⎣
0
1
1
0
⎤
⎦ + t
⎡
⎣
1
1
−1
1
⎤
⎦ =
⎡
⎣
t
t + t
t − t
t
⎤
⎦ . On a
y 1 + 3y 2 − 2y 3 = t
+ 3(t + t
) − 2(t − t
) = t + 6t
et y 1 + y 2 − 2y 4 = t
+ (t + t
) − 2t
= t.
Le vecteur y appartient à V si et seulement si l’on a t + 6t
= t = 0, c’est-à-dire
si et seulement si t = t
= 0. Par conséquent, une combinaison linéaire de v 1 et v 2
n’appartient à V que si c’est le vecteur nul.
2.3 Les résultats généraux
La méthode de Gauss donne les principaux renseignement sur les solutions d’un
système linéaire.
Résultats 1. Supposons que le système linéaire (S) possède p équations, n inconnues
et que son rang est r 1.
a) Si r < n et s’il y a au moins une solution, alors il y a une infinité de solutions.
b) Si p < n et s’il y a au moins une solution, alors il y a une infinité de solutions.
c) Si l’on a r = p < n, alors le système possède une infinité de solutions.
Concernant les systèmes homogènes, on a les résultats suivants.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 113