ou encore
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x 1
. . .
x r
x r+1
x r+2
. . .
x n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
β 1
. . .
β r
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ x r+1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1 r+1
. . .
γ r r+1
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ x r+2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1 r+2
. . .
γ r r+2
0
1
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ · · · + x n
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1n
. . .
γ rn
0
0
. . .
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Posons x = (x 1 ,. . .,x n ), w = (β 1 ,. . .,β r ,0,. . .,0) et notons w r+1 ,. . .,w n les vecteurs
en facteur des inconnues x r+1 , . . . , x n . On a donc
x = w + x r+1 w r+1 + · · · + x n w n .
® On obtient les solutions du système en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues x r+1 , . . . , x n . Les solutions x s’obtiennent donc en ajoutant le vecteur
w à n’importe quelle combinaison linéaire des n−r vecteurs w r+1 , . . . , w n . Le
système possède une infinité de solutions.
® Les vecteurs w r+1 , . . . , w n sont indépendants : en effet, si t r+1 , . . . , t n sont des
scalaires, les n−r dernières coordonnées du vecteur t r+1 w r+1 + · · · + t n w n sont
t r+1 , . . . , t n ; si l’on a t r+1 w r+1 + · · · + t n w n = 0, il vient donc t r+1 = · · · = t n = 0.
Conclusion : Les solutions s’écrivent de manière unique
x = w + t r+1 w r+1 + · · · + t n w n , où t r+1 , . . . , t n sont des scalaires quelconques.
Les nombres t r+1 , . . . , t n s’appellent les paramètres des solutions.
Cas d'un système homogène. Si le système (S) est homogène (b = 0), les
nombres b
∗
i sont tous nuls, donc w = 0. L’ensemble des solutions est le sous-espace
vectoriel V de K
p engendré par les vecteurs w r+1 , . . . , w n ; puisque ces vecteurs
sont indépendants, ils forment une base de V .
Équations d'un sous-espace vectoriel
Soit V le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n . Un
vecteur y appartient à V si et seulement si l’équation linéaire
(∗)
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = y
a au moins une solution, ce qui a lieu si et seulement si les égalités de compatibilités
sont satisfaites : ces égalités constituent donc des équations du sous-espace vectoriel V .
Exemple. Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 engendré par les vecteurs u 1 =
(1, 1, 2, 1), u 2 = (−1, 1, 1, 0), u 3 = (1, 1, 2, 1). Un vecteur (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ∈ R
4 est combinaison linéaire de u 1 , u 2 , u 3 si et seulement si le système linéaire suivant a au moins
112 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x 1
. . .
x r
x r+1
x r+2
. . .
x n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
β 1
. . .
β r
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ x r+1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1 r+1
. . .
γ r r+1
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ x r+2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1 r+2
. . .
γ r r+2
0
1
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
+ · · · + x n
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
γ 1n
. . .
γ rn
0
0
. . .
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Posons x = (x 1 ,. . .,x n ), w = (β 1 ,. . .,β r ,0,. . .,0) et notons w r+1 ,. . .,w n les vecteurs
en facteur des inconnues x r+1 , . . . , x n . On a donc
x = w + x r+1 w r+1 + · · · + x n w n .
® On obtient les solutions du système en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues x r+1 , . . . , x n . Les solutions x s’obtiennent donc en ajoutant le vecteur
w à n’importe quelle combinaison linéaire des n−r vecteurs w r+1 , . . . , w n . Le
système possède une infinité de solutions.
® Les vecteurs w r+1 , . . . , w n sont indépendants : en effet, si t r+1 , . . . , t n sont des
scalaires, les n−r dernières coordonnées du vecteur t r+1 w r+1 + · · · + t n w n sont
t r+1 , . . . , t n ; si l’on a t r+1 w r+1 + · · · + t n w n = 0, il vient donc t r+1 = · · · = t n = 0.
Conclusion : Les solutions s’écrivent de manière unique
x = w + t r+1 w r+1 + · · · + t n w n , où t r+1 , . . . , t n sont des scalaires quelconques.
Les nombres t r+1 , . . . , t n s’appellent les paramètres des solutions.
Cas d'un système homogène. Si le système (S) est homogène (b = 0), les
nombres b
∗
i sont tous nuls, donc w = 0. L’ensemble des solutions est le sous-espace
vectoriel V de K
p engendré par les vecteurs w r+1 , . . . , w n ; puisque ces vecteurs
sont indépendants, ils forment une base de V .
Équations d'un sous-espace vectoriel
Soit V le sous-espace vectoriel de K
p engendré par des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n . Un
vecteur y appartient à V si et seulement si l’équation linéaire
(∗)
x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = y
a au moins une solution, ce qui a lieu si et seulement si les égalités de compatibilités
sont satisfaites : ces égalités constituent donc des équations du sous-espace vectoriel V .
Exemple. Soit V le sous-espace vectoriel de R
4 engendré par les vecteurs u 1 =
(1, 1, 2, 1), u 2 = (−1, 1, 1, 0), u 3 = (1, 1, 2, 1). Un vecteur (y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ∈ R
4 est combinaison linéaire de u 1 , u 2 , u 3 si et seulement si le système linéaire suivant a au moins
112 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES