Définitions
® Le nombre r s’appelle le rang du système (S) ou de l’équation linéaire.
® Si l’on a r < p, les p − r dernières égalités (celles dont le premier membre est
nul) s’appellent les égalités de compatibilité.
Puisque les systèmes (S) et (S
) ont les mêmes solutions, on en déduit :
Si l’une des égalités de compatibilité n’est pas satisfaite, alors le système n’a pas de solution.
Compte-tenu du déroulement de la méthode de Gauss, on a les propriétés suivantes.
® Le rang d’un système linéaire ne dépend pas du second membre.
® Le second membre de (S
) ne dépend que du second membre de (S).
® Si le système est homogène (son second membre est nul), alors toutes les égalités de
compatibilité sont satisfaites : en effet, chaque nombre b
i s’obtient en faisant des combinaisons linéaires de b 1 ,. . .,b r ; si tous les b i sont nuls, il en va donc de même des b
i .
Fin de la résolution. Supposons que l’on a r = p (il n’y a pas d’égalité de compatibilité) ou bien que toutes les égalités de compatibilité sont satisfaites : dans ces
cas, le système se réduit aux r premières équations.
On poursuit alors la résolution en exprimant, dans les r premières équations, les inconnues de tête en fonction des autres ; pour simplifier, supposons que les inconnues
de tête sont x 1 , x 2 , . . . , x r (il suffit de rénuméroter les inconnues pour qu’il en soit
ainsi). Le système (S
) s’écrit alors sous la forme
(S
∗ )
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = b
∗
1 − a
∗
12 x 2 −
· · ·
· · ·
− a
∗
1n x n
x 2 = b
∗
2
− a
∗
23 x 3 −
···
−a
∗
2n x n
. . .
. . .
. . .
x r = b
∗
r
− a
∗
r r+1 x r+1 − · · · − a
∗
rn x n
Il est maintenant facile d’exprimer chacune des inconnues x 1 , . . . , x r au moyen de
x r+1 , . . . , x n :
– on reporte l’expression de x r dans l’avant dernière équation, ce qui donne x r−1
en fonction de x r+1 , . . . , x n ,
– puis on opère par reports successifs dans les expressions de x r−2 , . . . , x 1 .
Distinguons deux cas.
Premier cas : r = n . Alors la dernière équation s’écrit x n = b
∗
n et de proche en
proche, on calcule la valeur de x n−1 , . . . , x 1 . Le système possède dans ce cas une
unique solution.
Second cas : r < n . Après report des inconnues x r+1 , . . . , x n , le système s’écrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = β 1 + γ 1 r+1 x r+1 + γ 1 r+2 x r+2 + . . . + γ 1n x n
x 2 = β 2 + γ 2 r+1 x r+1 + γ 2 r+2 x r+2 + . . . + γ 2n x n
. . .
. . .
x r = β r + γ r r+1 x r+1 + γ r r+2 x r+2 + . . . + γ rn x n
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 111
® Le nombre r s’appelle le rang du système (S) ou de l’équation linéaire.
® Si l’on a r < p, les p − r dernières égalités (celles dont le premier membre est
nul) s’appellent les égalités de compatibilité.
Puisque les systèmes (S) et (S
) ont les mêmes solutions, on en déduit :
Si l’une des égalités de compatibilité n’est pas satisfaite, alors le système n’a pas de solution.
Compte-tenu du déroulement de la méthode de Gauss, on a les propriétés suivantes.
® Le rang d’un système linéaire ne dépend pas du second membre.
® Le second membre de (S
) ne dépend que du second membre de (S).
® Si le système est homogène (son second membre est nul), alors toutes les égalités de
compatibilité sont satisfaites : en effet, chaque nombre b
i s’obtient en faisant des combinaisons linéaires de b 1 ,. . .,b r ; si tous les b i sont nuls, il en va donc de même des b
i .
Fin de la résolution. Supposons que l’on a r = p (il n’y a pas d’égalité de compatibilité) ou bien que toutes les égalités de compatibilité sont satisfaites : dans ces
cas, le système se réduit aux r premières équations.
On poursuit alors la résolution en exprimant, dans les r premières équations, les inconnues de tête en fonction des autres ; pour simplifier, supposons que les inconnues
de tête sont x 1 , x 2 , . . . , x r (il suffit de rénuméroter les inconnues pour qu’il en soit
ainsi). Le système (S
) s’écrit alors sous la forme
(S
∗ )
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = b
∗
1 − a
∗
12 x 2 −
· · ·
· · ·
− a
∗
1n x n
x 2 = b
∗
2
− a
∗
23 x 3 −
···
−a
∗
2n x n
. . .
. . .
. . .
x r = b
∗
r
− a
∗
r r+1 x r+1 − · · · − a
∗
rn x n
Il est maintenant facile d’exprimer chacune des inconnues x 1 , . . . , x r au moyen de
x r+1 , . . . , x n :
– on reporte l’expression de x r dans l’avant dernière équation, ce qui donne x r−1
en fonction de x r+1 , . . . , x n ,
– puis on opère par reports successifs dans les expressions de x r−2 , . . . , x 1 .
Distinguons deux cas.
Premier cas : r = n . Alors la dernière équation s’écrit x n = b
∗
n et de proche en
proche, on calcule la valeur de x n−1 , . . . , x 1 . Le système possède dans ce cas une
unique solution.
Second cas : r < n . Après report des inconnues x r+1 , . . . , x n , le système s’écrit :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 = β 1 + γ 1 r+1 x r+1 + γ 1 r+2 x r+2 + . . . + γ 1n x n
x 2 = β 2 + γ 2 r+1 x r+1 + γ 2 r+2 x r+2 + . . . + γ 2n x n
. . .
. . .
x r = β r + γ r r+1 x r+1 + γ r r+2 x r+2 + . . . + γ rn x n
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 111