2.2 Résolution des systèmes linéaires
Reprenons le système de p équations à n inconnues
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
(eq 1 )
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
(eq 2 )
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
(eq p )
Échelonnement du système. Supposons que dans (S), l’un des coefficients de
x 1 n’est pas nul (sinon, l’inconnue x 1 n’apparaît pas et le système n’a que les
n−1 inconnues x 2 , . . . , x n ). En plaçant en première position l’une des équations où
apparaît x 1 , on peut supposer a 11 = 0.
Comme on l’a vu, la méthode de Gauss consiste à faire les opérations qui éliminent
x 1 dans les équations eq 2 , . . . , eq p , et à continuer successivement l’élimination des
inconnues qui restent.
À chaque étape, on a éliminé au moins une inconnue dans les dernières équations ;
cela peut produire certaines équations où ne figure plus d’inconnue, comme dans
l’exemple 1.
En réordonnant éventuellement les équations en cours de calcul, on trouve, comme
dans les exemples précédents, un système (S
) équivalent à (S) et de la forme :
(S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 +
a
12 x 2 + a
13 x 3 + · · · + a
1n x n = b
1 (eq
1 )
x i 2 +
a
2 i 2 +1 x i 2 +1 + · · · + a
2n x n = b
2 (eq
2 )
x i 3 +
a
3 i 3 +1 x i 3 +1 + · · · + a
3n x n = b
3 (eq
3 )
. . .
. . .
. . .
x i r + a
r i r +1 x i r +1 + · · · + a
r n x n = b
r (eq
r )
0 = b
r+1 (eq
r+1 )
. . .
. . .
0 = b
p (eq
p )
Un tel système est dit en échelons. Voici les caractéristiques d’un système en échelons.
i) Dans les r premières équations, les inconnues de tête x 1 , x i 2 , x i 3 , . . . , x i r ont leurs
indices strictement croissants : 1 = i 1 < i 2 < i 3 < · · · < i r n.
ii) Chaque inconnue de tête a pour coefficient 1 : on obtient cela en divisant une équation αx k + α k+1 x k+1 + · · · + α n x n = β par le coefficient α = 0 de l’inconnue de tête.
iii) Le nombre r d’équations contenant des inconnues est bien sûr inférieur ou égal
à n et à p.
Nous verrons bientôt que ce nombre r d’inconnues de tête ne dépend que du système
(S) et non pas de la manière dont on s’y est pris pour l’échelonner.
110 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES
Reprenons le système de p équations à n inconnues
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
(eq 1 )
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
(eq 2 )
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
(eq p )
Échelonnement du système. Supposons que dans (S), l’un des coefficients de
x 1 n’est pas nul (sinon, l’inconnue x 1 n’apparaît pas et le système n’a que les
n−1 inconnues x 2 , . . . , x n ). En plaçant en première position l’une des équations où
apparaît x 1 , on peut supposer a 11 = 0.
Comme on l’a vu, la méthode de Gauss consiste à faire les opérations qui éliminent
x 1 dans les équations eq 2 , . . . , eq p , et à continuer successivement l’élimination des
inconnues qui restent.
À chaque étape, on a éliminé au moins une inconnue dans les dernières équations ;
cela peut produire certaines équations où ne figure plus d’inconnue, comme dans
l’exemple 1.
En réordonnant éventuellement les équations en cours de calcul, on trouve, comme
dans les exemples précédents, un système (S
) équivalent à (S) et de la forme :
(S
)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x 1 +
a
12 x 2 + a
13 x 3 + · · · + a
1n x n = b
1 (eq
1 )
x i 2 +
a
2 i 2 +1 x i 2 +1 + · · · + a
2n x n = b
2 (eq
2 )
x i 3 +
a
3 i 3 +1 x i 3 +1 + · · · + a
3n x n = b
3 (eq
3 )
. . .
. . .
. . .
x i r + a
r i r +1 x i r +1 + · · · + a
r n x n = b
r (eq
r )
0 = b
r+1 (eq
r+1 )
. . .
. . .
0 = b
p (eq
p )
Un tel système est dit en échelons. Voici les caractéristiques d’un système en échelons.
i) Dans les r premières équations, les inconnues de tête x 1 , x i 2 , x i 3 , . . . , x i r ont leurs
indices strictement croissants : 1 = i 1 < i 2 < i 3 < · · · < i r n.
ii) Chaque inconnue de tête a pour coefficient 1 : on obtient cela en divisant une équation αx k + α k+1 x k+1 + · · · + α n x n = β par le coefficient α = 0 de l’inconnue de tête.
iii) Le nombre r d’équations contenant des inconnues est bien sûr inférieur ou égal
à n et à p.
Nous verrons bientôt que ce nombre r d’inconnues de tête ne dépend que du système
(S) et non pas de la manière dont on s’y est pris pour l’échelonner.
110 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES