En faisant les mêmes opérations que précédemment, il vient les équivalences
(S) ⇐⇒
x 1 +2x 2 −x 3 = 1
(eq 1 )
x 2 +3x 3 = −1 (eq
2 )
⇐⇒
x 1 = 1 − 2x 2 + x 3
x 2 = −1 − 3x 3
⇐⇒
x 1 = 3 + 7x 3
x 2 = −1 − 3x 3
Si l’on donne à x 3 n’importe quelle valeur t, on obtient les solutions
x 1
x 2
x 3
=
3 + 7t
−1 − 3t
t
=
3
−1
0
+ t
7
−3
1
A des valeurs de t différentes correspondent des solutions différentes : le système
(S) possède donc une infinité de solutions. Si l’on représente (x 1 , x 2 , x 3 ) par un
point de l’espace R
3 , les solutions décrivent la droite passant par le point (3, −1, 0)
et de vecteur directeur (7, −3, 1).
Exemple 3. Soit le système linéaire homogène (S)
2x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 (eq 1 )
3x 1 − x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 0 (eq 2 )
où les inconnues sont les nombres réels x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
En remplaçant eq 2 par 2 eq 2 −3 eq 1 , l’inconnue x 1 disparaît dans la deuxième équation
et (S) est équivalent à
2x 1 −x 2 +x 3 −x 4 = 0 (eq 1 )
x 2 +3x 3 −x 4 = 0 (2 eq 2 −3 eq 1 ))
⇐⇒
2x 1 = x 2 −x 3 +x 4
x 2 = −3x 3 +x 4
⇐⇒
x 1 = −2x 3 +x 4
x 2 = −3x 3 +x 4
⎡
⎣
x 1
x 2
x 3
x 4
⎤
⎦ =
⎡
⎣
−2x 3 + x 4
−3x 3 + x 4
x 3
x 4
⎤
⎦ = x 3
⎡
⎣
−2
−3
1
0
⎤
⎦ + x 4
⎡
⎣
1
1
0
1
⎤
⎦
On peut donner à x 3 et x 4 des valeurs réelles arbitraires : les solutions de (S) sont donc
⎡
⎣
x 1
x 2
x 3
x 4
⎤
⎦ = t
⎡
⎣
−2
−3
1
0
⎤
⎦ + t
⎡
⎣
1
1
0
1
⎤
⎦ , où t et t
sont des nombres quelconques.
Posons u = (−2, −3, 1, 0) et u
= (1, 1, 0, 1). Les solutions sont toutes les combinaisons
linéaires de u et u
, autrement dit l’ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel
V de R
4 engendré par les vecteurs u, u
. Les deux dernières coordonnées du vecteur
tu + t
u
sont t et t
; si l’on suppose que tu + t
u
= 0, alors t = 0 et t
= 0. Cela
montre que les vecteurs u et u
sont indépendants. Les vecteurs u et u
forment donc
une base du sous-espace vectoriel V . Le système possède une infinité de solutions.
Remarque
La méthode de Gauss n’est pas une bonne méthode numérique pour résoudre des
systèmes linéaires de grande taille : elle nécessite beaucoup d’opérations et le résultat
est trop sensible aux erreurs d’arrondi. Nous présenterons au chapitre 8 quelques
méthodes de résolution numérique plus efficaces.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 109
(S) ⇐⇒
x 1 +2x 2 −x 3 = 1
(eq 1 )
x 2 +3x 3 = −1 (eq
2 )
⇐⇒
x 1 = 1 − 2x 2 + x 3
x 2 = −1 − 3x 3
⇐⇒
x 1 = 3 + 7x 3
x 2 = −1 − 3x 3
Si l’on donne à x 3 n’importe quelle valeur t, on obtient les solutions
x 1
x 2
x 3
=
3 + 7t
−1 − 3t
t
=
3
−1
0
+ t
7
−3
1
A des valeurs de t différentes correspondent des solutions différentes : le système
(S) possède donc une infinité de solutions. Si l’on représente (x 1 , x 2 , x 3 ) par un
point de l’espace R
3 , les solutions décrivent la droite passant par le point (3, −1, 0)
et de vecteur directeur (7, −3, 1).
Exemple 3. Soit le système linéaire homogène (S)
2x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0 (eq 1 )
3x 1 − x 2 + 3x 3 − 2x 4 = 0 (eq 2 )
où les inconnues sont les nombres réels x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .
En remplaçant eq 2 par 2 eq 2 −3 eq 1 , l’inconnue x 1 disparaît dans la deuxième équation
et (S) est équivalent à
2x 1 −x 2 +x 3 −x 4 = 0 (eq 1 )
x 2 +3x 3 −x 4 = 0 (2 eq 2 −3 eq 1 ))
⇐⇒
2x 1 = x 2 −x 3 +x 4
x 2 = −3x 3 +x 4
⇐⇒
x 1 = −2x 3 +x 4
x 2 = −3x 3 +x 4
⎡
⎣
x 1
x 2
x 3
x 4
⎤
⎦ =
⎡
⎣
−2x 3 + x 4
−3x 3 + x 4
x 3
x 4
⎤
⎦ = x 3
⎡
⎣
−2
−3
1
0
⎤
⎦ + x 4
⎡
⎣
1
1
0
1
⎤
⎦
On peut donner à x 3 et x 4 des valeurs réelles arbitraires : les solutions de (S) sont donc
⎡
⎣
x 1
x 2
x 3
x 4
⎤
⎦ = t
⎡
⎣
−2
−3
1
0
⎤
⎦ + t
⎡
⎣
1
1
0
1
⎤
⎦ , où t et t
sont des nombres quelconques.
Posons u = (−2, −3, 1, 0) et u
= (1, 1, 0, 1). Les solutions sont toutes les combinaisons
linéaires de u et u
, autrement dit l’ensemble des solutions est le sous-espace vectoriel
V de R
4 engendré par les vecteurs u, u
. Les deux dernières coordonnées du vecteur
tu + t
u
sont t et t
; si l’on suppose que tu + t
u
= 0, alors t = 0 et t
= 0. Cela
montre que les vecteurs u et u
sont indépendants. Les vecteurs u et u
forment donc
une base du sous-espace vectoriel V . Le système possède une infinité de solutions.
Remarque
La méthode de Gauss n’est pas une bonne méthode numérique pour résoudre des
systèmes linéaires de grande taille : elle nécessite beaucoup d’opérations et le résultat
est trop sensible aux erreurs d’arrondi. Nous présenterons au chapitre 8 quelques
méthodes de résolution numérique plus efficaces.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 109