Lorsqu’on effectue ces opérations, le système d’équations est donc bien transformé
en un système qui a les mêmes solutions.
Exemple 1. Soit le système d’équations (S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
2x 1 + 5x 2 + x 3 = b 2
(eq 2 )
x 1 + 4x 2 + 5x 3 = b 3
(eq 3 )
x 1 + x 2 − 3x 3 = b 4
(eq 4 )
Pour éliminer l’inconnue x 1 dans les équations eq 2 , eq 3 et eq 4 , formons les équations
⎧
⎨
⎩
eq
2 = eq 2 −2 eq 1 : x 2 + 3x 3
= b 2 − 2b 1
eq
3 = eq 3 − eq 1
: 2x 2 + 6x 3 = b 3 − b 1
eq
4 = eq 4 − eq 1
: − x 2 − 2x 3 = b 4 − b 1
On obtient le système équivalent :
(S) ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
x 2 + 3x 3 = b 2 − 2b 1
(eq
2 )
2x 2 + 6x 3 = b 3 − b 1
(eq
3 )
− x 2 − 2x 3 = b 4 − b 1
(eq
4 )
Éliminons maintenant x 2 dans les deux dernières équations en formant les équations
eq
3 = eq
3 −2 eq
2 et eq
4 = eq
4 + eq
2 . Il vient
(S) ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
x 2 + 3x 3 = b 2 − 2b 1
(eq
2 )
x 3 = −3b 1 + b 2 + b 4
(eq
4 )
0 = 3b 1 − 2b 2 + b 3
(eq
3 )
Premier cas : 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0 . Le système (S) n’a pas de solution, car l’égalité
(eq
3 ) n’est pas satisfaite.
Second cas : 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0 . Le système se réduit aux trois équations (eq 1 ),
(eq
2 ), (eq
4 ). La dernière donne x 3 , puis on tire x 2 de la seconde et enfin x 1 de
la première :
(S)⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−2x 2 +x 3 +b 1
x 2 =b 2 −2b 1 −3x 3
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−2x 2 +x 3 +b 1
x 2 =7b 1 −2b 2 −3b 4
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−16b 1 +5b 2 +7b 4
x 2 =7b 1 −2b 2 −3b 4
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
et dans ce cas, le système a une unique solution.
Si la condition 3b 1 − 2b 2 − b 3 = 0 est satisfaite, le système a une unique solution ;
sinon, il n’a pas de solution.
Exemple 2. Modifions le système d’équations de l’exemple précédent en supprimant la dernière équation et en posant b 1 = b 2 = 1, b 3 = −1 : l’égalité 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0
est ainsi satisfaite. Ce système s’écrit
(S)
⎧
⎨
⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = 1
(eq 1 )
2x 1 + 5x 2 + x 3 = 1
(eq 2 )
x 1 + 4x 2 + 5x 3 = −1
(eq 3 )
108 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES
en un système qui a les mêmes solutions.
Exemple 1. Soit le système d’équations (S)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
2x 1 + 5x 2 + x 3 = b 2
(eq 2 )
x 1 + 4x 2 + 5x 3 = b 3
(eq 3 )
x 1 + x 2 − 3x 3 = b 4
(eq 4 )
Pour éliminer l’inconnue x 1 dans les équations eq 2 , eq 3 et eq 4 , formons les équations
⎧
⎨
⎩
eq
2 = eq 2 −2 eq 1 : x 2 + 3x 3
= b 2 − 2b 1
eq
3 = eq 3 − eq 1
: 2x 2 + 6x 3 = b 3 − b 1
eq
4 = eq 4 − eq 1
: − x 2 − 2x 3 = b 4 − b 1
On obtient le système équivalent :
(S) ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
x 2 + 3x 3 = b 2 − 2b 1
(eq
2 )
2x 2 + 6x 3 = b 3 − b 1
(eq
3 )
− x 2 − 2x 3 = b 4 − b 1
(eq
4 )
Éliminons maintenant x 2 dans les deux dernières équations en formant les équations
eq
3 = eq
3 −2 eq
2 et eq
4 = eq
4 + eq
2 . Il vient
(S) ⇐⇒
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = b 1
(eq 1 )
x 2 + 3x 3 = b 2 − 2b 1
(eq
2 )
x 3 = −3b 1 + b 2 + b 4
(eq
4 )
0 = 3b 1 − 2b 2 + b 3
(eq
3 )
Premier cas : 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0 . Le système (S) n’a pas de solution, car l’égalité
(eq
3 ) n’est pas satisfaite.
Second cas : 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0 . Le système se réduit aux trois équations (eq 1 ),
(eq
2 ), (eq
4 ). La dernière donne x 3 , puis on tire x 2 de la seconde et enfin x 1 de
la première :
(S)⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−2x 2 +x 3 +b 1
x 2 =b 2 −2b 1 −3x 3
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−2x 2 +x 3 +b 1
x 2 =7b 1 −2b 2 −3b 4
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
x 1 =−16b 1 +5b 2 +7b 4
x 2 =7b 1 −2b 2 −3b 4
x 3 =−3b 1 +b 2 +b 4
et dans ce cas, le système a une unique solution.
Si la condition 3b 1 − 2b 2 − b 3 = 0 est satisfaite, le système a une unique solution ;
sinon, il n’a pas de solution.
Exemple 2. Modifions le système d’équations de l’exemple précédent en supprimant la dernière équation et en posant b 1 = b 2 = 1, b 3 = −1 : l’égalité 3b 1 − 2b 2 + b 3 = 0
est ainsi satisfaite. Ce système s’écrit
(S)
⎧
⎨
⎩
x 1 + 2x 2 − x 3 = 1
(eq 1 )
2x 1 + 5x 2 + x 3 = 1
(eq 2 )
x 1 + 4x 2 + 5x 3 = −1
(eq 3 )
108 – R ´
ESOLUTION DES ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES