De la première équation, on tire x 1 = b 1 + 2x 2 et en reportant dans la deuxième
équation, on obtient (b 1 + 2x 2 ) − 3x 2 = −x 2 + b 1 = b 2 , d’où les équivalences
x 1 − 2x 2 = b 1
x 1 − 3x 2 = b 2
⇐⇒
x 1 = b 1 + 2x 2
x 2 = b 1 − b 2
⇐⇒
x 1 = b 1 + 2(b 1 − b 2 )
x 2 = b 1 − b 2
Il y a une unique solution (x 1 , x 2 ) = (3b 1 − 2b 2 , b 1 − b 2 ).
x 1 u 1
u 1
x 2 u 2
u 2
b
La seule façon d’exprimer le vecteur b comme combinaison
linéaire des vecteurs u 1 , u 2 consiste donc à écrire
(3b 1 − 2b 2 )u 1 + (b 1 − b 2 )u 2 = b .
Les vecteurs u 1 ,u 2 forment une base de R
2 . Si b=(0,0), l’équation
est homogène et a pour unique solution x 1 = x 2 = 0.
2. Résolution des équations linéaires
2.1 Méthode de Gauss : pratique et exemples
Considérons le système d’équations
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
(eq 1 )
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
(eq 2 )
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
(eq p )
Si le coefficient a 11 n’est pas nul, on peut tirer x 1 de la première équation :
x 1 = b 1 − (a 12 /a 11 )x 2 − (a 13 /a 11 )x 3 − · · · − (a 1n /a 11 )x n .
En reportant cette expression de x 1 dans les autres équations, on obtient un système
où ne figurent plus que les n−1 inconnues x 2 , . . . , x n . La méthode de Gauss consiste
à répéter cette opération successivement sur les inconnues restantes. C’est ainsi que
nous avons procédé dans l’exemple précédent.
Pratiquement, on transforme le système (S) en un système équivalent (c’est-à-dire
ayant les mêmes solutions) au moyen d’opérations sur les équations du système.
Opérations permises
opération 1 : changer l’ordre des équations ;
opération 2 : multiplier une équation eq i par un scalaire a non nul, c’est-à-dire
remplacer eq i par eq
i = a eq i , où a = 0.
opération 3 : ajouter à une équation eq i un multiple quelconque d’une autre, c’est-àdire remplacer eq i par eq
i = eq i +a eq j , où i = j et où a est un scalaire quelconque.
Ces mêmes opérations permettent de retrouver les équations de départ : en effet,
® si eq
i = a eq i , où a est un scalaire non nul, alors eq i = (1/a) eq
i ;
® si eq
i = eq i +a eq j , où i = j , alors eq i = eq
i −a eq j .
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 107
équation, on obtient (b 1 + 2x 2 ) − 3x 2 = −x 2 + b 1 = b 2 , d’où les équivalences
x 1 − 2x 2 = b 1
x 1 − 3x 2 = b 2
⇐⇒
x 1 = b 1 + 2x 2
x 2 = b 1 − b 2
⇐⇒
x 1 = b 1 + 2(b 1 − b 2 )
x 2 = b 1 − b 2
Il y a une unique solution (x 1 , x 2 ) = (3b 1 − 2b 2 , b 1 − b 2 ).
x 1 u 1
u 1
x 2 u 2
u 2
b
La seule façon d’exprimer le vecteur b comme combinaison
linéaire des vecteurs u 1 , u 2 consiste donc à écrire
(3b 1 − 2b 2 )u 1 + (b 1 − b 2 )u 2 = b .
Les vecteurs u 1 ,u 2 forment une base de R
2 . Si b=(0,0), l’équation
est homogène et a pour unique solution x 1 = x 2 = 0.
2. Résolution des équations linéaires
2.1 Méthode de Gauss : pratique et exemples
Considérons le système d’équations
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
(eq 1 )
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
(eq 2 )
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
(eq p )
Si le coefficient a 11 n’est pas nul, on peut tirer x 1 de la première équation :
x 1 = b 1 − (a 12 /a 11 )x 2 − (a 13 /a 11 )x 3 − · · · − (a 1n /a 11 )x n .
En reportant cette expression de x 1 dans les autres équations, on obtient un système
où ne figurent plus que les n−1 inconnues x 2 , . . . , x n . La méthode de Gauss consiste
à répéter cette opération successivement sur les inconnues restantes. C’est ainsi que
nous avons procédé dans l’exemple précédent.
Pratiquement, on transforme le système (S) en un système équivalent (c’est-à-dire
ayant les mêmes solutions) au moyen d’opérations sur les équations du système.
Opérations permises
opération 1 : changer l’ordre des équations ;
opération 2 : multiplier une équation eq i par un scalaire a non nul, c’est-à-dire
remplacer eq i par eq
i = a eq i , où a = 0.
opération 3 : ajouter à une équation eq i un multiple quelconque d’une autre, c’est-àdire remplacer eq i par eq
i = eq i +a eq j , où i = j et où a est un scalaire quelconque.
Ces mêmes opérations permettent de retrouver les équations de départ : en effet,
® si eq
i = a eq i , où a est un scalaire non nul, alors eq i = (1/a) eq
i ;
® si eq
i = eq i +a eq j , où i = j , alors eq i = eq
i −a eq j .
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 107