sont nuls et cela est contraire à ce qu’on a supposé. On en déduit que y = 0. De l’égalité
de départ, on tire alors v = −(x 1 /y)u 1 − (x 2 /y)u 2 − · · · − (x n /y)u n et le vecteur v est bien
combinaison linéaire de u 1 , . . . , u n .
Théorème. Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p . Supposons qu’il existe des scalaires
x i et y i tels que x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = y 1 u 1 + y 2 u 2 + · · · + y n u n . Si les vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants, alors x i = y i pour tout i.
Démonstration. D’après les règles de calcul sur les vecteurs, on a
0=(x 1 u 1 +x 2 u 2 +· · ·+x n u n )−(y 1 u 1 +y 2 u 2 +· · ·+y n u n )=(x 1 −y 1 )u 1 +(x 2 −y 2 )u 2 +· · ·+(x n −y n )u n
Si les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants, alors par définition x 1 − y 1 = x 2 − y 2 = · · · =
x n − y n = 0, donc x i = y i pour tout i.
Définition
Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p et soit V le sous-espace vectoriel engendré
par ces vecteurs. Si u 1 , u 2 . . . , u n sont indépendants, on dit qu’ils forment une base
de V .
D’après les théorèmes qu’on vient de montrer, on a ainsi la propriété suivante.
Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n de K
p forment une base de V si et seulement si tout
vecteur de V s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de u 1 ,u 2 ,. . .,u n .
Proposition. Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs appartenant à V . Ces vecteurs forment
une base de V si et seulement si l’application (x 1 , x 2 , · · · , x n ) → x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n
de K
n dans V est une bijection.
Exemple. Les vecteurs canoniques e 1 , . . . , e p de K
p forment une base de K
p .
En effet, tout vecteur x=(x 1 ,. . .,x p ) appartenant à K
p s’écrit x 1 e 1 +x 2 e 2 +· · ·+x p e p =x.
Tout vecteur de K
p s’écrit donc de manière unique comme combinaison des vecteurs
canoniques.
Définition
La base de K
p formée des vecteurs canoniques e 1 , e 2 , . . . , e p s’appelle la base
canonique de K
p .
Exemple. Résolvons l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 = b, où u 1 , u 2 et b sont les
vecteurs de R
2 définis par u 1 = (1, 1), u 2 = (−2, −3) et b = (b 1 , b 2 ).
On a x 1
1
1
+x 2
−2
−3
=
x 1 − 2x 2
x 1 − 3x 2
, donc l’équation s’écrit sous la forme du système
linéaire
x 1 − 2x 2 = b 1
x 1 − 3x 2 = b 2
106 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES
de départ, on tire alors v = −(x 1 /y)u 1 − (x 2 /y)u 2 − · · · − (x n /y)u n et le vecteur v est bien
combinaison linéaire de u 1 , . . . , u n .
Théorème. Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p . Supposons qu’il existe des scalaires
x i et y i tels que x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = y 1 u 1 + y 2 u 2 + · · · + y n u n . Si les vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants, alors x i = y i pour tout i.
Démonstration. D’après les règles de calcul sur les vecteurs, on a
0=(x 1 u 1 +x 2 u 2 +· · ·+x n u n )−(y 1 u 1 +y 2 u 2 +· · ·+y n u n )=(x 1 −y 1 )u 1 +(x 2 −y 2 )u 2 +· · ·+(x n −y n )u n
Si les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants, alors par définition x 1 − y 1 = x 2 − y 2 = · · · =
x n − y n = 0, donc x i = y i pour tout i.
Définition
Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p et soit V le sous-espace vectoriel engendré
par ces vecteurs. Si u 1 , u 2 . . . , u n sont indépendants, on dit qu’ils forment une base
de V .
D’après les théorèmes qu’on vient de montrer, on a ainsi la propriété suivante.
Des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n de K
p forment une base de V si et seulement si tout
vecteur de V s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de u 1 ,u 2 ,. . .,u n .
Proposition. Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs appartenant à V . Ces vecteurs forment
une base de V si et seulement si l’application (x 1 , x 2 , · · · , x n ) → x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n
de K
n dans V est une bijection.
Exemple. Les vecteurs canoniques e 1 , . . . , e p de K
p forment une base de K
p .
En effet, tout vecteur x=(x 1 ,. . .,x p ) appartenant à K
p s’écrit x 1 e 1 +x 2 e 2 +· · ·+x p e p =x.
Tout vecteur de K
p s’écrit donc de manière unique comme combinaison des vecteurs
canoniques.
Définition
La base de K
p formée des vecteurs canoniques e 1 , e 2 , . . . , e p s’appelle la base
canonique de K
p .
Exemple. Résolvons l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 = b, où u 1 , u 2 et b sont les
vecteurs de R
2 définis par u 1 = (1, 1), u 2 = (−2, −3) et b = (b 1 , b 2 ).
On a x 1
1
1
+x 2
−2
−3
=
x 1 − 2x 2
x 1 − 3x 2
, donc l’équation s’écrit sous la forme du système
linéaire
x 1 − 2x 2 = b 1
x 1 − 3x 2 = b 2
106 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES