Les intensités sont donc solutions du système linéaire :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r 1 i 1 + r 2 i 2 = e
r 3 i 3 + r 4 i 4 = e
r 1 i 1 − r 4 i 4 − r 5 i 5 = 0
r 2 i 2 − r 3 i 3 + r 5 i 5 = 0
i 1 − i 2 − i 3 + i 4 = 0
i 3 − i 4 + i 5 = 0
i 1 − i 2 + i 5 = 0
Système homogène
Si le second membre b est le vecteur nul, on dit que le système linéaire (ou que
l’équation linéaire correspondante) est homogène.
Soit x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0 une équation linéaire homogène. Le vecteur nul
x 1 = x 2 = · · · = x n = 0 est évidemment solution. Si (x 1 , x 2 , . . . , x n ) et (x
1 , x
2 , . . . , x
n )
sont solutions, alors on a
(x 1 +x
1 )u 1 +(x 2 +x
2 )u 2 + · · · +(x n +x
n )u n =
= (x 1 u 1 +x 2 u 2 + · · · +x n u n )+(x
1 u 1 +x
2 u 2 + · · · +x
n u n ) = 0
et pour tout scalaire a,
(ax 1 )u 1 + (ax 2 )u 2 + · · · + (ax n )u n = a(x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n ) = 0 .
La somme de deux solutions est donc une solution et le produit d’une solution par
un scalaire est une solution.
Proposition. L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n inconnues
est un sous-espace vectoriel de K
n .
1.4 Vecteurs indépendants et bases
Définition
Soient u 1 , . . . , u n des vecteurs de K
p . Si l’équation linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0
a pour seule solution x 1 = x 2 = · · · = x n = 0, on dit que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n
sont indépendants.
D’après cette définition, des vecteurs sont indépendants si aucun d’entre eux n’est
combinaison linéaire des autres.
Théorème. Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v des vecteurs de K
p . Si u 1 ,u 2 ,. . .,u n sont indépendants
et si u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v ne le sont pas, alors v est combinaison linéaire des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n .
Démonstration. Puisque les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v ne sont pas indépendants, il existe une
relation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n + yv = 0 où les scalaires x 1 ,. . .,x n ,y ne sont pas tous
nuls. Si l’on a y = 0, alors il vient x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0, donc x 1 = x 2 = · · · = x n = 0
car les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants ; dans ce cas, tous les scalaires x 1 , . . . , x n , y
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 105
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
r 1 i 1 + r 2 i 2 = e
r 3 i 3 + r 4 i 4 = e
r 1 i 1 − r 4 i 4 − r 5 i 5 = 0
r 2 i 2 − r 3 i 3 + r 5 i 5 = 0
i 1 − i 2 − i 3 + i 4 = 0
i 3 − i 4 + i 5 = 0
i 1 − i 2 + i 5 = 0
Système homogène
Si le second membre b est le vecteur nul, on dit que le système linéaire (ou que
l’équation linéaire correspondante) est homogène.
Soit x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0 une équation linéaire homogène. Le vecteur nul
x 1 = x 2 = · · · = x n = 0 est évidemment solution. Si (x 1 , x 2 , . . . , x n ) et (x
1 , x
2 , . . . , x
n )
sont solutions, alors on a
(x 1 +x
1 )u 1 +(x 2 +x
2 )u 2 + · · · +(x n +x
n )u n =
= (x 1 u 1 +x 2 u 2 + · · · +x n u n )+(x
1 u 1 +x
2 u 2 + · · · +x
n u n ) = 0
et pour tout scalaire a,
(ax 1 )u 1 + (ax 2 )u 2 + · · · + (ax n )u n = a(x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n ) = 0 .
La somme de deux solutions est donc une solution et le produit d’une solution par
un scalaire est une solution.
Proposition. L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène à n inconnues
est un sous-espace vectoriel de K
n .
1.4 Vecteurs indépendants et bases
Définition
Soient u 1 , . . . , u n des vecteurs de K
p . Si l’équation linéaire x 1 u 1 + · · · + x n u n = 0
a pour seule solution x 1 = x 2 = · · · = x n = 0, on dit que les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n
sont indépendants.
D’après cette définition, des vecteurs sont indépendants si aucun d’entre eux n’est
combinaison linéaire des autres.
Théorème. Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v des vecteurs de K
p . Si u 1 ,u 2 ,. . .,u n sont indépendants
et si u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v ne le sont pas, alors v est combinaison linéaire des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n .
Démonstration. Puisque les vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n ,v ne sont pas indépendants, il existe une
relation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n + yv = 0 où les scalaires x 1 ,. . .,x n ,y ne sont pas tous
nuls. Si l’on a y = 0, alors il vient x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = 0, donc x 1 = x 2 = · · · = x n = 0
car les vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n sont indépendants ; dans ce cas, tous les scalaires x 1 , . . . , x n , y
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 105