Définition
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p et soit b ∈ K
p . Trouver tous les nombres
x 1 , x 2 , . . . , x n tels que x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b s’appelle résoudre l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b. Une solution de l’équation est donc un élément
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ K
n .
Supposons que u 1 , u 2 , . . . , u n sont des vecteurs de K
p . Pour désigner en général les
coordonnées de ces vecteurs, on utilise des lettres munies de deux indices, en posant
u i =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1i
a 2i
. . .
a pi
⎤
⎥
⎥
⎦ pour i = 1, 2, . . . , n .
Le premier indice est le numéro de la coordonnée, le second est le numéro du vecteur.
Pour tous scalaires x 1 ,. . .,x n , la combinaison linéaire x 1 u 1 +x 2 u 2 +· · ·+x n u n est égale à
x 1
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11
a 21
. . .
a p1
⎤
⎥
⎥
⎦ + x 2
⎡
⎢
⎢
⎣
a 12
a 22
. . .
a p2
⎤
⎥
⎥
⎦ + · · · + x n
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1n
a 2n
. . .
a pn
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Si b = (b 1 ,b 2 ,. . .,b p ), résoudre l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b consiste
donc à calculer les (x 1 , . . . , x n ) ∈ K
n vérifiant les équations numériques
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
Un tel ensemble d’équations s’appelle un système linéaire de p équations à n inconnues.
Les vecteurs u 1 , . . . , u n sont les vecteurs-colonne du système.
Le vecteur b s’appelle le second membre du système.
Exemple.
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
r 1
r 2
r 4
r 3
r 5
E
A
B
Considérons le circuit électrique ci-contre, du type
« pont de Wheatstone ». Les résistances ont pour valeurs (en ohm)
r 1 ,r 2 ,r 3 ,r 4 ,r 5 et E est un générateur. On a choisi un sens de parcours sur chaque portion du circuit, de sorte que les intensités
i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 sont des grandeurs algébriques. L’intensité dans le
circuit principal est i 1 +i 4 = i 2 +i 3 , en vertu de la loi des courants
dérivés et l’on a de même i 4 = i 3 + i 5 , i 2 = i 1 + i 5 . D’après la loi
d’Ohm, la différence de potentiel entre les points A et B est r 5 i 5 =r 1 i 1 −r 4 i 4 =r 3 i 3 −r 2 i 2
et la différence de potentiel aux bornes du générateur est e = r 1 i 1 + r 2 i 2 = r 3 i 3 + r 4 i 4 .
104 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p et soit b ∈ K
p . Trouver tous les nombres
x 1 , x 2 , . . . , x n tels que x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b s’appelle résoudre l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b. Une solution de l’équation est donc un élément
(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ K
n .
Supposons que u 1 , u 2 , . . . , u n sont des vecteurs de K
p . Pour désigner en général les
coordonnées de ces vecteurs, on utilise des lettres munies de deux indices, en posant
u i =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1i
a 2i
. . .
a pi
⎤
⎥
⎥
⎦ pour i = 1, 2, . . . , n .
Le premier indice est le numéro de la coordonnée, le second est le numéro du vecteur.
Pour tous scalaires x 1 ,. . .,x n , la combinaison linéaire x 1 u 1 +x 2 u 2 +· · ·+x n u n est égale à
x 1
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11
a 21
. . .
a p1
⎤
⎥
⎥
⎦ + x 2
⎡
⎢
⎢
⎣
a 12
a 22
. . .
a p2
⎤
⎥
⎥
⎦ + · · · + x n
⎡
⎢
⎢
⎣
a 1n
a 2n
. . .
a pn
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Si b = (b 1 ,b 2 ,. . .,b p ), résoudre l’équation linéaire x 1 u 1 + x 2 u 2 + · · · + x n u n = b consiste
donc à calculer les (x 1 , . . . , x n ) ∈ K
n vérifiant les équations numériques
(S)
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
. . .
. . .
a p1 x 1 + a p2 x 2 + · · · + a pn x n = b p
Un tel ensemble d’équations s’appelle un système linéaire de p équations à n inconnues.
Les vecteurs u 1 , . . . , u n sont les vecteurs-colonne du système.
Le vecteur b s’appelle le second membre du système.
Exemple.
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
r 1
r 2
r 4
r 3
r 5
E
A
B
Considérons le circuit électrique ci-contre, du type
« pont de Wheatstone ». Les résistances ont pour valeurs (en ohm)
r 1 ,r 2 ,r 3 ,r 4 ,r 5 et E est un générateur. On a choisi un sens de parcours sur chaque portion du circuit, de sorte que les intensités
i 1 , i 2 , i 3 , i 4 , i 5 sont des grandeurs algébriques. L’intensité dans le
circuit principal est i 1 +i 4 = i 2 +i 3 , en vertu de la loi des courants
dérivés et l’on a de même i 4 = i 3 + i 5 , i 2 = i 1 + i 5 . D’après la loi
d’Ohm, la différence de potentiel entre les points A et B est r 5 i 5 =r 1 i 1 −r 4 i 4 =r 3 i 3 −r 2 i 2
et la différence de potentiel aux bornes du générateur est e = r 1 i 1 + r 2 i 2 = r 3 i 3 + r 4 i 4 .
104 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES