1.2 Sous-espaces vectoriels de K
p
Définition
Soit V une partie de K
p . On dit que V est un sous-espace vectoriel de K
p si
i) le vecteur nul appartient à V ,
ii) pour tous vecteurs u et v appartenant à V , on a u + v ∈ V et au ∈ V quel que
soit le scalaire a ∈ K.
Exemples
® Soit D l’ensemble des (x, y) ∈ R
2 tels que 3x − 2y = 0.
D
x
y
3
2
Le vecteur nul (0, 0) appartient à D. Supposons que les vecteurs
u=(x,y) et u
=(x
,y
) appartiennent à D, donc 3x−2y=0=3x
−2y
.
On a 3(x+x
)−2(y+y
)=(3x−2y)+(3x
−2y
)=0, donc u+u
∈D.
De même, pour tout a ∈ R, on a 3(ax) − 2(ay) = a(3x − 2y) = 0,
donc au ∈ D.
L’ensemble D est donc un sous-espace vectoriel de R
2 . Géométriquement, D est
la droite passant par l’origine et dirigée par le vecteur (2, 3).
® Soient r un nombre réel et P = {(x, y, z) ∈ R
3
| 3x − 2y + rz = 0}.
Supposons que les vecteurs u = (x,y,z) et u
= (x
,y
,z
) appartiennent à P . On a
3(x+x
)−2(y+y
)+r(z+z
)=(3x−2y+rz)+(3x
−2y
+rz
)=0 et, pour tout a∈R,
3(ax) − 2(ay) + r(az) = a(3x − 2y + rz) = 0, donc u + u
et au appartiennent à P .
Puisque le vecteur nul appartient à P , P est un sous-espace vectoriel de R
3 : c’est
le plan passant par l’origine et orthogonal au vecteur (3, −2, r) ; le plan P coupe
le plan des x, y (d’équation z = 0) selon la droite D précédente.
® Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p et soit V l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n : alors V est un sous-espace vectoriel de K
p .
En effet, le vecteur nul est égal à la combinaison linéaire 0u 1 +0u 2 +· · ·+0u n , donc appartient à V . Soient u=x 1 u 1 +· · ·+x n u n et v=y 1 u 1 +· · ·+y n u n des vecteurs de V . On
a u+ v = (x 1 + y 1 )u 1 + · · ·+(x n + y n )u n , donc u+ v est un vecteur de V . De même, on
a au=(ax 1 )u 1 +· · ·+(ax n )u n , donc pour tout scalaire a, le vecteur au appartient à V .
Définition
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p . L’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n est un sous-espace vectoriel de K
p appelé le
sous-espace vectoriel engendré par u 1 , . . . , u n .
1.3 Équations linéaires
On a souvent besoin de savoir si un vecteur b∈K
p est combinaison linéaire de vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n donnés et si oui, de calculer les coefficients d’une telle combinaison.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 103
p
Définition
Soit V une partie de K
p . On dit que V est un sous-espace vectoriel de K
p si
i) le vecteur nul appartient à V ,
ii) pour tous vecteurs u et v appartenant à V , on a u + v ∈ V et au ∈ V quel que
soit le scalaire a ∈ K.
Exemples
® Soit D l’ensemble des (x, y) ∈ R
2 tels que 3x − 2y = 0.
D
x
y
3
2
Le vecteur nul (0, 0) appartient à D. Supposons que les vecteurs
u=(x,y) et u
=(x
,y
) appartiennent à D, donc 3x−2y=0=3x
−2y
.
On a 3(x+x
)−2(y+y
)=(3x−2y)+(3x
−2y
)=0, donc u+u
∈D.
De même, pour tout a ∈ R, on a 3(ax) − 2(ay) = a(3x − 2y) = 0,
donc au ∈ D.
L’ensemble D est donc un sous-espace vectoriel de R
2 . Géométriquement, D est
la droite passant par l’origine et dirigée par le vecteur (2, 3).
® Soient r un nombre réel et P = {(x, y, z) ∈ R
3
| 3x − 2y + rz = 0}.
Supposons que les vecteurs u = (x,y,z) et u
= (x
,y
,z
) appartiennent à P . On a
3(x+x
)−2(y+y
)+r(z+z
)=(3x−2y+rz)+(3x
−2y
+rz
)=0 et, pour tout a∈R,
3(ax) − 2(ay) + r(az) = a(3x − 2y + rz) = 0, donc u + u
et au appartiennent à P .
Puisque le vecteur nul appartient à P , P est un sous-espace vectoriel de R
3 : c’est
le plan passant par l’origine et orthogonal au vecteur (3, −2, r) ; le plan P coupe
le plan des x, y (d’équation z = 0) selon la droite D précédente.
® Soient u 1 ,u 2 ,. . .,u n des vecteurs de K
p et soit V l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs u 1 ,u 2 ,. . .,u n : alors V est un sous-espace vectoriel de K
p .
En effet, le vecteur nul est égal à la combinaison linéaire 0u 1 +0u 2 +· · ·+0u n , donc appartient à V . Soient u=x 1 u 1 +· · ·+x n u n et v=y 1 u 1 +· · ·+y n u n des vecteurs de V . On
a u+ v = (x 1 + y 1 )u 1 + · · ·+(x n + y n )u n , donc u+ v est un vecteur de V . De même, on
a au=(ax 1 )u 1 +· · ·+(ax n )u n , donc pour tout scalaire a, le vecteur au appartient à V .
Définition
Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p . L’ensemble de toutes les combinaisons
linéaires des vecteurs u 1 , u 2 , . . . , u n est un sous-espace vectoriel de K
p appelé le
sous-espace vectoriel engendré par u 1 , . . . , u n .
1.3 Équations linéaires
On a souvent besoin de savoir si un vecteur b∈K
p est combinaison linéaire de vecteurs
u 1 , u 2 , . . . , u n donnés et si oui, de calculer les coefficients d’une telle combinaison.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 103