® Si a est un nombre de K, le produit du vecteur u par le scalaire a est le vecteur
au = (ax 1 , ax 2 , . . . , ax p ), ou encore
a
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
ax 1
ax 2
. . .
ax p
⎤
⎥
⎥
⎦ .
® Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p . Une combinaison linéaire des vecteurs
u 1 ,u 2 ,. . .,u n est un vecteur de la forme a 1 u 1 + a 2 u 2 + · · ·+ a n u n , où a 1 ,a 2 ,. . .,a n
sont des scalaires.
® Si u est un vecteur non nul et a un scalaire, le vecteur au est dit colinéaire à u.
Si a, b sont des scalaires et u, v des vecteurs de K
p , alors on a
au + bu = (a + b)u et a(u + v) = au + av.
Exemple 1. Posons u = (2, 1, −1), v = (3, 1, −2) et w = (0, 1, 2). Si x, y, z sont des
nombres réels, la combinaison linéaire xu + yv + zw s’écrit matriciellement
x
2
1
−1
+ y
3
1
−2
+ z
0
1
2
=
2x
x
−x
+
3y
y
−2y
+
0
z
2z
=
2x + 3y
x + y + z
−x − 2y + 2z
.
Exemple 2.
A
B
C
Dans le plan euclidien R
2 , les points A = (1, 0), B =
(−1/2,
√
3/2) et C =(−1/2,−
√
3/2) sont les sommets d’un triangle équilatéral centré à l’origine O : la somme
− − − − − →
OA+
− − − − − →
OB +
− − − − − →
OC est le vecteur nul.
Définition
Pour tout indice i compris entre 1 et p, notons e i le vecteur de K
p dont toutes
les coordonnées sont nulles sauf celle d’indice i qui vaut 1 : on a
e 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , e p = (0, 0, . . . , 0, 1)
et matriciellement :
E 1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, E 2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , E p =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
. . .
0
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Les vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e p s’appellent les vecteurs canoniques.
Pour tout vecteur (x 1 , . . . , x p ) ∈ K
p , on a
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ = x 1
⎡
⎢
⎣
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎦ + x 2
⎡
⎢
⎣
0
1
. . .
0
⎤
⎥
⎦ + · · · + x p
⎡
⎢
⎣
0
0
. . .
1
⎤
⎥
⎦ = x 1 E 1 + x 2 E 2 + · · · + x p E p .
Tout vecteur de K
p s’écrit donc de manière unique comme combinaison linéaire des
vecteurs canoniques.
102 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES
au = (ax 1 , ax 2 , . . . , ax p ), ou encore
a
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
ax 1
ax 2
. . .
ax p
⎤
⎥
⎥
⎦ .
® Soient u 1 , u 2 , . . . , u n des vecteurs de K
p . Une combinaison linéaire des vecteurs
u 1 ,u 2 ,. . .,u n est un vecteur de la forme a 1 u 1 + a 2 u 2 + · · ·+ a n u n , où a 1 ,a 2 ,. . .,a n
sont des scalaires.
® Si u est un vecteur non nul et a un scalaire, le vecteur au est dit colinéaire à u.
Si a, b sont des scalaires et u, v des vecteurs de K
p , alors on a
au + bu = (a + b)u et a(u + v) = au + av.
Exemple 1. Posons u = (2, 1, −1), v = (3, 1, −2) et w = (0, 1, 2). Si x, y, z sont des
nombres réels, la combinaison linéaire xu + yv + zw s’écrit matriciellement
x
2
1
−1
+ y
3
1
−2
+ z
0
1
2
=
2x
x
−x
+
3y
y
−2y
+
0
z
2z
=
2x + 3y
x + y + z
−x − 2y + 2z
.
Exemple 2.
A
B
C
Dans le plan euclidien R
2 , les points A = (1, 0), B =
(−1/2,
√
3/2) et C =(−1/2,−
√
3/2) sont les sommets d’un triangle équilatéral centré à l’origine O : la somme
− − − − − →
OA+
− − − − − →
OB +
− − − − − →
OC est le vecteur nul.
Définition
Pour tout indice i compris entre 1 et p, notons e i le vecteur de K
p dont toutes
les coordonnées sont nulles sauf celle d’indice i qui vaut 1 : on a
e 1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , e p = (0, 0, . . . , 0, 1)
et matriciellement :
E 1 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
0
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, E 2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, . . . , E p =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
. . .
0
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Les vecteurs e 1 , e 2 , . . . , e p s’appellent les vecteurs canoniques.
Pour tout vecteur (x 1 , . . . , x p ) ∈ K
p , on a
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ = x 1
⎡
⎢
⎣
1
0
. . .
0
⎤
⎥
⎦ + x 2
⎡
⎢
⎣
0
1
. . .
0
⎤
⎥
⎦ + · · · + x p
⎡
⎢
⎣
0
0
. . .
1
⎤
⎥
⎦ = x 1 E 1 + x 2 E 2 + · · · + x p E p .
Tout vecteur de K
p s’écrit donc de manière unique comme combinaison linéaire des
vecteurs canoniques.
102 – VECTEURS ET COMBINAISONS LIN ´
EAIRES