Chapitre 4
Équations
linéaires et vecteurs
1. Vecteurs et combinaisons linéaires
1.1 Les espaces vectoriels R
p
et C
p
Rappelons que R
p est l’ensemble des p-uplets (x 1 , x 2 , . . . , x p ) de nombres réels ; de
même, C
p désigne l’ensemble des p-uplets de nombres complexes. Nous désignons
par la lettre K l’ensemble R ou C.
® Un élément de K
p s’appelle un vecteur à p coordonnées et, pour cette raison,
l’ensemble K
p s’appelle un espace vectoriel.
® Le vecteur (0, 0,. . .,0), dont toutes les coordonnées sont nulles, s’appelle le vecteur
nul et se note simplement 0.
® Les éléments de K s’appellent des scalaires : ce sont des nombres.
Notation. Un vecteur (x 1 , . . . , x p ) est souvent noté
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ et appelé alors une
matrice-colonne.
Opérations sur les vecteurs de K p
Définitions
Soient u = (x 1 , x 2 , . . . , x p ) et v = (y 1 , y 2 , . . . , y p ) des vecteurs de K
p .
® La somme des vecteurs u et v est le vecteur u + v = (x 1 + y 1 ,x 2 + y 2 ,. . .,x p + y p ).
Sous forme de matrices-colonne, cela s’écrit
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1
x 2
. . .
x p
⎤
⎥
⎥
⎦ +
⎡
⎢
⎢
⎣
y 1
y 2
. . .
y p
⎤
⎥
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎢
⎣
x 1 + y 1
x 2 + y 2
. . .
x p + y p
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 101