11
@ . Un exemple de systèmes à solutions positives. Considérons un système de n équations
linéaires à n inconnues, de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 −
···
− a 1n x n = b 1
− a 21 x 1 + a 22 x 2 − a 23 x 3 −
···
− a 2n x n = b 2
. . .
. . .
. . .
− a n1 x 1 − a n2 x 2 − · · · − a n n−1 x n−1 + a nn x n = b n
Faisons les deux hypothèses suivantes :
1) les nombres a ij et les nombres b i sont tous positifs ou nuls (ainsi les coefficients
diagonaux sont positifs, les autres sont négatifs et le second membre est positif) ;
2) pour tout i = 1, 2, . . . n, on a a ii >
j =i
a ij .
Un tel système est à diagonale strictement dominante. Le but de l’exercice est de montrer que si (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est solution, les nombres x i sont tous positifs ou nuls.
Nous verrons aussi page 250 qu’un système vérifiant (1) et (2) possède une unique
solution.
a) On suppose n = 2. Montrer qu’il y a une unique solution (x 1 , x 2 ) et que l’on a
x 1 0 et x 2 0.
b) On suppose n = 3. Soit (x 1 , x 2 , x 3 ) une solution. Supposons par exemple que le
plus grand des nombres |x 1 |, |x 2 |, |x 3 | est |x 2 |, donc on a |x 2 | |x 1 | et |x 2 | |x 3 |.
(i) Montrer que |a 21 x 1 + a 23 x 3 | a 22 |x 2 | ; en déduire que −a 21 x 1 + a 22 x 2 − a 23 x 3 a
le signe de a 22 x 2 et que x 2 est positif ou nul.
(ii) Montrer que l’on a
a 11 x 1 − a 13 x 3 0
− a 31 x 1 + a 33 x 3 0
. En utilisant le résultat (a), en déduire
que x 1 et x 3 sont positifs ou nuls.
(iii) Expliquer pourquoi le résultat est vrai quelle que soit la disposition des nombres
|x 1 |, |x 2 |, |x 3 |.
c) Expliquer le raisonnement par récurrence qui permet de démontrer le résultat pour
un système de n équations.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 127
@ . Un exemple de systèmes à solutions positives. Considérons un système de n équations
linéaires à n inconnues, de la forme
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 − a 12 x 2 − a 13 x 3 −
···
− a 1n x n = b 1
− a 21 x 1 + a 22 x 2 − a 23 x 3 −
···
− a 2n x n = b 2
. . .
. . .
. . .
− a n1 x 1 − a n2 x 2 − · · · − a n n−1 x n−1 + a nn x n = b n
Faisons les deux hypothèses suivantes :
1) les nombres a ij et les nombres b i sont tous positifs ou nuls (ainsi les coefficients
diagonaux sont positifs, les autres sont négatifs et le second membre est positif) ;
2) pour tout i = 1, 2, . . . n, on a a ii >
j =i
a ij .
Un tel système est à diagonale strictement dominante. Le but de l’exercice est de montrer que si (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est solution, les nombres x i sont tous positifs ou nuls.
Nous verrons aussi page 250 qu’un système vérifiant (1) et (2) possède une unique
solution.
a) On suppose n = 2. Montrer qu’il y a une unique solution (x 1 , x 2 ) et que l’on a
x 1 0 et x 2 0.
b) On suppose n = 3. Soit (x 1 , x 2 , x 3 ) une solution. Supposons par exemple que le
plus grand des nombres |x 1 |, |x 2 |, |x 3 | est |x 2 |, donc on a |x 2 | |x 1 | et |x 2 | |x 3 |.
(i) Montrer que |a 21 x 1 + a 23 x 3 | a 22 |x 2 | ; en déduire que −a 21 x 1 + a 22 x 2 − a 23 x 3 a
le signe de a 22 x 2 et que x 2 est positif ou nul.
(ii) Montrer que l’on a
a 11 x 1 − a 13 x 3 0
− a 31 x 1 + a 33 x 3 0
. En utilisant le résultat (a), en déduire
que x 1 et x 3 sont positifs ou nuls.
(iii) Expliquer pourquoi le résultat est vrai quelle que soit la disposition des nombres
|x 1 |, |x 2 |, |x 3 |.
c) Expliquer le raisonnement par récurrence qui permet de démontrer le résultat pour
un système de n équations.
Chapitre 4 – ´
EQUATIONS LIN ´
EAIRES ET VECTEURS – 127