3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Exercice 3.3.12
Soit G un groupe, Aut(G) le groupe de ses automorphismes. On appelle holomorphe de G
et on note Hol(G) le produit semi-direct G )q Aut(G).
1) Préciser l'action <1>.
2) Déterminer les holomorphes de Z, Z/2, Z/3, Z/4
3) Vérifier également que l'holomorphe du groupe de Klein est S 4 • On pourra commencer
par établir que le groupe d'automorphismes du groupe de Klein est S3 .
4) Étudier le groupe des automorphismes du groupe diédral. On vérifiera que le sous-groupe
cyclique (a) doit être invariant, et l'on en déduira que :
Aut(IDl 211 ) = Hol(Z/n)
Regardons maintenant des exemples de groupes qui ne sont pas des produits semi-directs.
Dans le cas d'un groupe commutatif, la situation n'est pas très intéressante. Un produit
semi-direct est forcément direct ; par ailleurs, un groupe comme Z/4 n'est pas produit
de son soûs-groupe 2Z/4 avec un autre sous-groupe. Un autre contre-exemple est donné
par le groupe quaternionique.
Exercice 3.3.13
1) Démontrer que le groupe quaternionique IHI 8 n'est pas produit semi-direct de deux de ses
sous-groupes ( en éliminant bien sûr les cas « triviaux » ).
2) Généraliser dans le cas d'un groupe dicyclique quelconque.
SOLUTIONS
3.3.1 1) Le premier morphisme est défini par e 1--+ e, donc le noyau de a est réduit à e, et a
est injectif. Le dernier morphisme arrive dans e, c'est donc le morphisme constant à valeur
e; son noyau est K et c'est l'image de b. b est surjectif.
2) N est le noyau d'un morphisme, donc est normal dans G; par ailleurs, le premier théorème
d'isomorphisme permet de dire que G/N est isomorphe à l'image de b donc à K.
3) C'est encore le théorème d'isomorphisme. Si b est un morphisme de G dans H, il donne
lieu à la suite exacte
où i est l'injection.
3.3.2 1) Il suffit de poser i(n) = (n, e) et p(n, k) = k. Alors, comme on l'a vu dans les
exercices 2. 1.1 et 2. 1.12, i et p sont des morphismes respectivement injectif et surjectif.
De plus, le noyau de p est formé des éléments de la forme (n, e), qui est bien l'image de i.
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Exercice 3.3.12
Soit G un groupe, Aut(G) le groupe de ses automorphismes. On appelle holomorphe de G
et on note Hol(G) le produit semi-direct G )q Aut(G).
1) Préciser l'action <1>.
2) Déterminer les holomorphes de Z, Z/2, Z/3, Z/4
3) Vérifier également que l'holomorphe du groupe de Klein est S 4 • On pourra commencer
par établir que le groupe d'automorphismes du groupe de Klein est S3 .
4) Étudier le groupe des automorphismes du groupe diédral. On vérifiera que le sous-groupe
cyclique (a) doit être invariant, et l'on en déduira que :
Aut(IDl 211 ) = Hol(Z/n)
Regardons maintenant des exemples de groupes qui ne sont pas des produits semi-directs.
Dans le cas d'un groupe commutatif, la situation n'est pas très intéressante. Un produit
semi-direct est forcément direct ; par ailleurs, un groupe comme Z/4 n'est pas produit
de son soûs-groupe 2Z/4 avec un autre sous-groupe. Un autre contre-exemple est donné
par le groupe quaternionique.
Exercice 3.3.13
1) Démontrer que le groupe quaternionique IHI 8 n'est pas produit semi-direct de deux de ses
sous-groupes ( en éliminant bien sûr les cas « triviaux » ).
2) Généraliser dans le cas d'un groupe dicyclique quelconque.
SOLUTIONS
3.3.1 1) Le premier morphisme est défini par e 1--+ e, donc le noyau de a est réduit à e, et a
est injectif. Le dernier morphisme arrive dans e, c'est donc le morphisme constant à valeur
e; son noyau est K et c'est l'image de b. b est surjectif.
2) N est le noyau d'un morphisme, donc est normal dans G; par ailleurs, le premier théorème
d'isomorphisme permet de dire que G/N est isomorphe à l'image de b donc à K.
3) C'est encore le théorème d'isomorphisme. Si b est un morphisme de G dans H, il donne
lieu à la suite exacte
où i est l'injection.
3.3.2 1) Il suffit de poser i(n) = (n, e) et p(n, k) = k. Alors, comme on l'a vu dans les
exercices 2. 1.1 et 2. 1.12, i et p sont des morphismes respectivement injectif et surjectif.
De plus, le noyau de p est formé des éléments de la forme (n, e), qui est bien l'image de i.
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