88
Théorie des groupes
3) Montrer que si cl> est un automorphisme qui conserve les transpositions, alors cl> est un
automorphisme intérieur. On rappelle que S 11 est engendré par les transpositions de la
forme (l, 2),( 1, 3), ... ,(1, n).
4) Montrer que si n > 4 et n =f 6, il est nécessaire qu'un automorphisme conserve les transpositions. On pourra utiliser le fait que l'image d'une transposition est une permutation
d'ordre 2, et utiliser des arguments de dénombrement. Conclure, dans ce cas, sur Aut(S 11 ) .
5) Montrer que si S 11 contient un sous-groupe d'indice n qui n'est pas le stabilisateur d'un
entier 1, 2, ... , n, alors Aut(S 11 ) contient un automorphisme intérieur.
6) Que dire sur le groupe Aut(S 6 )?
Étudions maintenant des produits semi-directs fabriqués avec des groupes cycliques.
Exercice 3.3.9
Démontrer que pour qu'il existe un produit semi-direct non direct, Z/n ><1 Z/m, il faut qu'il
existe r, tel que r' = 1 (mod m). Examiner les cas m = 2, puis m = 3. Existe t-il un produit
semi-direct non trivial de la forme Z/4 ><1 Z/3 ?
Revenons sur les suites exactes. Il est parfois possible de repérer sur une suite exacte si
le grou,pe G est produit direct, ou semi-direct, des groupes Net K. Cela est très pratique
quand on connaît seulement N et le morphisme dont il est le noyau.
Exercice 3.3.10
Soit une suite exacte :
e-N�G�K-e
1) Démontrer que G est le produit semi-direct de Net de K ssi il existe un morphisme s :
K---+ G tel que p os= id. Ce morphisme s'appelle une section.
2) Démontrer que se donner une section équivaut à se donner un sous-groupe de G isomorphe
à K, et dont les éléments sont dans des classes différentes modulo N. Ce sous-groupe
s'appelle un relèvement de K.
3) Examiner à nouveau le cas du groupe symétrique et du groupe alterné.
Exercice 3.3.11
Soit G = Ai le groupe alterné, et V = { e, u, v, w} le sous-groupe des doubles transpositions.
On utilise les notations de 2.4.11.
Montrer que si K = ((1, 2, 3)), alors V et K satisfont le critère de produit semi-direct, et en
déduire que :
Ai 9! (Z/2 x Z/2) ><14> Z/3
À tout groupe on peut associer un produit semi-direct privilégié, son holomorphe.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
3) Montrer que si cl> est un automorphisme qui conserve les transpositions, alors cl> est un
automorphisme intérieur. On rappelle que S 11 est engendré par les transpositions de la
forme (l, 2),( 1, 3), ... ,(1, n).
4) Montrer que si n > 4 et n =f 6, il est nécessaire qu'un automorphisme conserve les transpositions. On pourra utiliser le fait que l'image d'une transposition est une permutation
d'ordre 2, et utiliser des arguments de dénombrement. Conclure, dans ce cas, sur Aut(S 11 ) .
5) Montrer que si S 11 contient un sous-groupe d'indice n qui n'est pas le stabilisateur d'un
entier 1, 2, ... , n, alors Aut(S 11 ) contient un automorphisme intérieur.
6) Que dire sur le groupe Aut(S 6 )?
Étudions maintenant des produits semi-directs fabriqués avec des groupes cycliques.
Exercice 3.3.9
Démontrer que pour qu'il existe un produit semi-direct non direct, Z/n ><1 Z/m, il faut qu'il
existe r, tel que r' = 1 (mod m). Examiner les cas m = 2, puis m = 3. Existe t-il un produit
semi-direct non trivial de la forme Z/4 ><1 Z/3 ?
Revenons sur les suites exactes. Il est parfois possible de repérer sur une suite exacte si
le grou,pe G est produit direct, ou semi-direct, des groupes Net K. Cela est très pratique
quand on connaît seulement N et le morphisme dont il est le noyau.
Exercice 3.3.10
Soit une suite exacte :
e-N�G�K-e
1) Démontrer que G est le produit semi-direct de Net de K ssi il existe un morphisme s :
K---+ G tel que p os= id. Ce morphisme s'appelle une section.
2) Démontrer que se donner une section équivaut à se donner un sous-groupe de G isomorphe
à K, et dont les éléments sont dans des classes différentes modulo N. Ce sous-groupe
s'appelle un relèvement de K.
3) Examiner à nouveau le cas du groupe symétrique et du groupe alterné.
Exercice 3.3.11
Soit G = Ai le groupe alterné, et V = { e, u, v, w} le sous-groupe des doubles transpositions.
On utilise les notations de 2.4.11.
Montrer que si K = ((1, 2, 3)), alors V et K satisfont le critère de produit semi-direct, et en
déduire que :
Ai 9! (Z/2 x Z/2) ><14> Z/3
À tout groupe on peut associer un produit semi-direct privilégié, son holomorphe.
www.bibliomath.com