3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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2) Démontrer que l'action de K sur N se traduit, dans G, par une action par automorphismes
intérieurs.
3) Réciproquement, montrer que si deux sous-groupes Net K d'un groupe G satisfont :
N
G=NK
alors G est isomorphe au produit semi-direct N > K où (k)(n) = knk1
•
4) Avec les hypothèses de la question précédente, quand le produit semi-direct se révèle-t-il
être un produit direct ?
5) À quelle condition un produit semi-direct est-il commutatif ?
6) Utiliser ce qui précède pour montrer que le groupe symétrique est produit semi-direct du
groupe alterné et du groupe engendré par une transposition.
Continuons maintenant des exemples, d'abord avec des groupes cycliques.
Exercice 3.3.6
Soit N = Z/3 et K = Z/4, et l'on adoptera la notation multiplicative. Si y est générateur de
K, on définit une action par morphisme sur N = (x) par y.x = x1
•
1) Vérifier que cette condition définie bien une action par morphismes de K sur N.
2) Montrer que le produit semi-direct ainsi obtenu est un groupe non commutatif' à douze
éléments non isomorphe au groupe diédral 1[)) 12 ni au groupe alterné À4. On le note T. En
donner une présentation.
3) Montrer que T est isomorphe au groupe de matrices de l'exercice l.l.21, et au groupe
dicyclique à douze éléments de l'exercice 2.3.5.
Pour définir des produits semi-directs, il est nécessaire de bien connaître les automorphismes ; continuons à nous intéresser aux groupes cycliques.
Exercice 3.3.7
l) Soit G = Z/n. Démontrer qu'un morphisme de G dans un groupe est déterminé par l'image
d'un générateur.
2) En déduire que le groupe des automorphismes de Z/n est isomorphe à l'ensemble des
inversibles de l'anneau Z/n.
Parmi les groupes dont on peut obtenir le groupe des automorphismes, il y a les groupes
symétriques.
Exercice 3.3.8
1) Examiner le cas de S 2 , S 3 et S4.
2) Montrer que Int(S 11 ) '::! S 11 , pour n > 2.
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2) Démontrer que l'action de K sur N se traduit, dans G, par une action par automorphismes
intérieurs.
3) Réciproquement, montrer que si deux sous-groupes Net K d'un groupe G satisfont :
N
G=NK
alors G est isomorphe au produit semi-direct N >
•
4) Avec les hypothèses de la question précédente, quand le produit semi-direct se révèle-t-il
être un produit direct ?
5) À quelle condition un produit semi-direct est-il commutatif ?
6) Utiliser ce qui précède pour montrer que le groupe symétrique est produit semi-direct du
groupe alterné et du groupe engendré par une transposition.
Continuons maintenant des exemples, d'abord avec des groupes cycliques.
Exercice 3.3.6
Soit N = Z/3 et K = Z/4, et l'on adoptera la notation multiplicative. Si y est générateur de
K, on définit une action par morphisme sur N = (x) par y.x = x1
•
1) Vérifier que cette condition définie bien une action par morphismes de K sur N.
2) Montrer que le produit semi-direct ainsi obtenu est un groupe non commutatif' à douze
éléments non isomorphe au groupe diédral 1[)) 12 ni au groupe alterné À4. On le note T. En
donner une présentation.
3) Montrer que T est isomorphe au groupe de matrices de l'exercice l.l.21, et au groupe
dicyclique à douze éléments de l'exercice 2.3.5.
Pour définir des produits semi-directs, il est nécessaire de bien connaître les automorphismes ; continuons à nous intéresser aux groupes cycliques.
Exercice 3.3.7
l) Soit G = Z/n. Démontrer qu'un morphisme de G dans un groupe est déterminé par l'image
d'un générateur.
2) En déduire que le groupe des automorphismes de Z/n est isomorphe à l'ensemble des
inversibles de l'anneau Z/n.
Parmi les groupes dont on peut obtenir le groupe des automorphismes, il y a les groupes
symétriques.
Exercice 3.3.8
1) Examiner le cas de S 2 , S 3 et S4.
2) Montrer que Int(S 11 ) '::! S 11 , pour n > 2.
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