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Théorie des groupes
2) Peut-on échanger les rôles de Net de K?
On va considérer maintenant une situation plus générale que le produit direct, où G sera
encore le produit ensembliste de N et de K, et où il y aura encore une suite exacte.
Prenons Ne t K deux groupes, et un morphisme de K dans Aut(N), c'est-à-dire une
action de K sur N, mais une action« par automorphismes». On notera donc (k)(n) ou
k.n l'image de n sous cette action et G le produit cartésien (ensembliste) de N par K.
Exercice 3.3.3
1) On définit alors une loi dans G par :
(n, k) * (n' , k') = (n(k)(n'), kk') = (n(k.n'), kk')
Montrer que G est un groupe.
2) Montrer que la suite :
1--N_l__.G�K--l
où i(n) = (n, 1) et p(n, k) = k, est une suite exacte.
3) Que se passe t-il si (k) = id pour tout k E K?
Cette construction est très pratique pour fabriquer des groupes, et aussi pour « démonter »
des groupes que l'on connaît déjà. On appellera produit semi-direct ce groupe et l'on le
notera G = N � cf> K pour ne pas le confondre avec le produit direct N x K. Le morphisme
sera parfois sous-entendu. Vo ici un premier exemple.
Exercice 3.3.4
Démontrer que le groupe diédral ][) 2 ,, est le produit semi-direct du groupe cyclique Z/n par
Z/2.
Avant de poursuivre les exemples; do11nons une autre caractérisation des produits semidirects avec un autre point de vue. Il s'agit maintenant de savoir si un groupe donné est
un produit semi-direct de deux de ses sous-groupes. Une condition nécessaire est, bien
sûr, qu'il admette au moins un sous-groupe normal, mais elle ne suffit pas. On va obtenir
une condition nécessaire et suffisante, à rapprocher du critère de produit direct vu dans
l'exercice 2.1.5. Ce résultat s'appellera« critère du produit semi-direct».
Exercice 3.3.5
1) Soit G = N �cf> Kun produit semi-direct, et la suite exacte associée :
1--N_!__.G�K--1
On note N l'image de i, /C l'ensemble des couples (1, k) où k E K ; démontrer que :
N <1 G
N n /C = 1 G = NIC
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