3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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et d'itérer. Remarquons que le résultat ne subsiste plus si l'on ne fait aucune hypothèse
sur H. Cependant, on peut montrer que si H est un sous-groupe quelconque de G, et Sun
p-Sylow, alors il existe un p-Sylow asa- 1 tel que asa- 1 n H soit un p-Sylow de H. C'est
le point de départ d'une démonstration du premier théorème de Sylow [21].
6) Soit Kun sous-groupe à la fois pronormal et sous-normal dans G. Supposons que K H où x EL. Alors K � H => xKx1
� xnx1
= H puisque
H est normal dans L. Et donc le sous-groupe engendré par K et xKx1
est inclus dans H ;
comme K est pronormal, il existe y E H tel que xKx1
= yKy1
= K, car K est normal
dans H. On a donc montré que K est normal dans L, d'où, en itérant, le résultat demandé:
la pronormalité peut être redéfinie comme étant ce qui manque à un groupe sous-normal
pour être normal...
3.3 PRODUITS SEMI-DIRECTS
Introduisons un vocabulaire bien utile pour étudier les groupes, et plus précisément les
morphismes. Si a et b sont deux morphismes tels que b o a existe, on schématise :
N�G�K
On dit que cette suite est exacte en G si
Ker b = Ima
Le cas le plus intéressant est celui d'une suite
e-N�G�K-e
qui est exacte en N, G et K. On dit alors que c'est une suite exacte courte. Par abus, on
note e le groupe réduit à un élément ; on écrira au besoin aussi O ou 1.
Exercice 3.3.1
1) Montrer que dans le cas d'une suite exacte courte, a est injectif et b est surjectif.
2) Montrer que a(N) 3) Montrer que tout morphisme entre deux groupes permet de définir une suite exacte.
Examinons le cas où G est produit direct de ses sous-groupes N et K.
Exercice 3.3.2
1) Démontrer qu'on peut définir un morphisme i de N dans N x K et un morphisme p de
N x K dans K, de sorte que la suite
soit exacte.
i
/J
e-N-N x K- K-e
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