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Théorie des groupes
3) • Supposons que H soit un p-groupe pronormal dans G. Alors H est un sous-groupe d'un
p-Sylow S, en utilisant encore le second théorème de Sylow. Montrons que tout conjugué
xnx1
, qui est inclus dans S, est confondu avec H. En effet, soit K = (H, xnx- 1 ). C'est
un sous-groupe de S, donc un p-groupe. Si H est un sous-groupe strict de K, il existe alors
un sous-groupe K 1 maximal dans K, normal dans K, contenant H, et donc ne contenant
pas xnx- 1 . Comme H est pronormal dans G, il existe y E K tel que xnx1
= y H y - 1
•
Mais alors, H � K 1 ::::} y H y - 1
� yK 1 y1
= K 1 ce qui est absurde. On en déduit que S
contient un seul des conjugués de H, et, par conjugaison, que tout p-Sylow de G contient
un seul conjugué de H.
• Supposons maintenant que H soit un p-groupe, et que chaque p-Sylow de G ne contienne
qu'un de ses conjugués (il y en a au moins un car tous les p-Sylow sont conjugués). Soit
alors xnx1
un conjugué de H distinct de H, et K = (H,xH.x1
). Alors K n'est pas un
p-groupe (sinon il serait contenu dans un p-Sylow, ce qui contredit l'hypothèse sur H).
Soit donc T un p-Sylow de K contenant H. Alors xnx1
est contenu dans un p-Sylow
de K, qui est de la forme y T y - 1 où y E K. Considérons maintenant le p-Sylow S de
G contenant H. Alors y S y -
1
est un p-Sylow de G qui contient y T y - 1
, et donc xnx1
•
Mais il contient aussi yHy- 1 ; par l'hypothèse, on en conclut xH.x1
= y H y - 1
, qu'il fallait
démontrer. Pour suivre, faire un dessin.
4) Un exemple de sous-groupe qui est pronormal sans être normal. H = ( ( 1, 2)), sous-groupe
de S3 ; ce n'est pas un sous-groupe normal de S3, mais il est pronormal car maximal,
(H, xnx- 1 ) est égal à S 3 pour tout x non dans H.
3.2.20 1) C'est exactement le résultat de la dernière question de l'exercice 3.2. 18.
2) Prenons un exemple dans le 2-groupe ID>8 • Le sous-groupe engendré par b d'ordre 2 n'est
pas normal, mais il est sous-normal. Les groupes symétriques ont très peu de groupes sousnormaux, dès que n � 5, le groupe alterné est simple et il est le seul sous-groupe normal
de S 11 ; il n'y a pas d'autre sous-groupe sous-normal non trivial.
3) Si cf> est un morphisme surjectif, il transforme un sous-groupe normal en un sous-groupe
normal, et donc conserve la sous-normalité. En particulier, les conjugués d'un groupe sousnormal dans G sont sous-normaux dans G. Si cf> n'est plus surjectif, l'image d'un sousgroupe sous-normal est sous-normale dans l'image.
4) Le plus direct est d'utiliser le second théorème d'isomorphisme: S est un p-Sylow de HS
et donc IHS I = p"m où m est premier à p. Si donc m' est le cardinal de H et p
k
celui de
H n S, l'isomorphisme:
HS/H '::! S/HnS
prouve que mp" / m' = p" / µ
k
et donc m' = mp
k
qui prouve que H n S est un p-Sylow de H.
5) Il suffit de refaire le même calcul en utilisant le schéma suivant :
HS
/
/
/
�
�
/ / / / �"� / s
K
uns
�/ KnS
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
3) • Supposons que H soit un p-groupe pronormal dans G. Alors H est un sous-groupe d'un
p-Sylow S, en utilisant encore le second théorème de Sylow. Montrons que tout conjugué
xnx1
, qui est inclus dans S, est confondu avec H. En effet, soit K = (H, xnx- 1 ). C'est
un sous-groupe de S, donc un p-groupe. Si H est un sous-groupe strict de K, il existe alors
un sous-groupe K 1 maximal dans K, normal dans K, contenant H, et donc ne contenant
pas xnx- 1 . Comme H est pronormal dans G, il existe y E K tel que xnx1
= y H y - 1
•
Mais alors, H � K 1 ::::} y H y - 1
� yK 1 y1
= K 1 ce qui est absurde. On en déduit que S
contient un seul des conjugués de H, et, par conjugaison, que tout p-Sylow de G contient
un seul conjugué de H.
• Supposons maintenant que H soit un p-groupe, et que chaque p-Sylow de G ne contienne
qu'un de ses conjugués (il y en a au moins un car tous les p-Sylow sont conjugués). Soit
alors xnx1
un conjugué de H distinct de H, et K = (H,xH.x1
). Alors K n'est pas un
p-groupe (sinon il serait contenu dans un p-Sylow, ce qui contredit l'hypothèse sur H).
Soit donc T un p-Sylow de K contenant H. Alors xnx1
est contenu dans un p-Sylow
de K, qui est de la forme y T y - 1 où y E K. Considérons maintenant le p-Sylow S de
G contenant H. Alors y S y -
1
est un p-Sylow de G qui contient y T y - 1
, et donc xnx1
•
Mais il contient aussi yHy- 1 ; par l'hypothèse, on en conclut xH.x1
= y H y - 1
, qu'il fallait
démontrer. Pour suivre, faire un dessin.
4) Un exemple de sous-groupe qui est pronormal sans être normal. H = ( ( 1, 2)), sous-groupe
de S3 ; ce n'est pas un sous-groupe normal de S3, mais il est pronormal car maximal,
(H, xnx- 1 ) est égal à S 3 pour tout x non dans H.
3.2.20 1) C'est exactement le résultat de la dernière question de l'exercice 3.2. 18.
2) Prenons un exemple dans le 2-groupe ID>8 • Le sous-groupe engendré par b d'ordre 2 n'est
pas normal, mais il est sous-normal. Les groupes symétriques ont très peu de groupes sousnormaux, dès que n � 5, le groupe alterné est simple et il est le seul sous-groupe normal
de S 11 ; il n'y a pas d'autre sous-groupe sous-normal non trivial.
3) Si cf> est un morphisme surjectif, il transforme un sous-groupe normal en un sous-groupe
normal, et donc conserve la sous-normalité. En particulier, les conjugués d'un groupe sousnormal dans G sont sous-normaux dans G. Si cf> n'est plus surjectif, l'image d'un sousgroupe sous-normal est sous-normale dans l'image.
4) Le plus direct est d'utiliser le second théorème d'isomorphisme: S est un p-Sylow de HS
et donc IHS I = p"m où m est premier à p. Si donc m' est le cardinal de H et p
k
celui de
H n S, l'isomorphisme:
HS/H '::! S/HnS
prouve que mp" / m' = p" / µ
k
et donc m' = mp
k
qui prouve que H n S est un p-Sylow de H.
5) Il suffit de refaire le même calcul en utilisant le schéma suivant :
HS
/
/
/
�
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/ / / / �"� / s
K
uns
�/ KnS
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