3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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3.2.17 H agit sur ses conjugués par h.xH.x- 1 = hxH.x1
h1
• Dans cette action, H est seul
dans son orbite. Comme H est un p-groupe, l'équation des classes montre qu'il existe une
autre orbite à un seul élément, mettons g H g - 1 =/ H. Mais alors
'v'hEH, h g H g - 1 h1
= g H g - 1 =* g - 1 h g H g - 1 h1 g =H
prouve que tout élément de g - 1 H g normalise H. Il y a un conjugué inclus dans le normalisateur. Donc, si H n'est pas normal dans G, on a prouvé:
H
3.2.18 1) La fin de l'exercice précédent montre en effet que si H est maximal parmi les
sous-groupes de G, alors il est normal dans G. Le quotient G/H est alors un p-groupe
qui n'a pas de sous-groupe non trivial (sinon H ne serait pas maximal, cf le théorème
de correspondance), c'est donc un groupe cyclique à p éléments, et H est d'indice p. Ce
résultat est faux si G n'est pas un p-groupe, il suffit de prendre comme exemple un groupe
simple non commutatif.
2) Faisons un raisonnement par récurrence. Supposons que tout p-groupe de cardinal p
<
où
k < n vérifie la propriété. La récurrence est amorcée sans problème pour k = 1, et soit
G un groupe d'ordre p". Nous savons que le centre Z(G) est non trivial. Il contient un
élément x d'ordre p (parce qu'il est commutatif, mais on peut aussi utiliser le théorème de
Cauchy), et (x) sous-groupe du centre est normal dans G. On peut alors considérer G/ (x),
qui est différent de G, et lui appliquer l'hypothèse de récurrence. Cela (par le théorème
de correspondance) donne des sous-groupes normaux de tout ordre p
k
contenant (x) . En
ajoutant (x) lui-même, la propriété est démontrée.
3) Soit maintenant Kun sous-groupe strict d'un p-groupe G. Alors K est inclus dans un sousgroupe maximal Ko de G. On considère en effet l'ensemble des sous-groupes contenant
K, et l'on prend un de ceux qui ont le cardinal maximal. Ce sous-groupe est normal dans
G d'après l'exercice précédent, et d'indice p. Si ce n'est pas K, on recommence .. .
Dans les cas de 1Hl 8 , les chaînes de sous-groupes sont du type:
{e }
Dans le cas du groupe diédral ][)) g engendré par a d'ordre 4 et b d'ordre 2, il y a deux
types de chaînes :
{e }
)
, b)
conjugués. Mais cette idée est vague, et l'exercice est un peu rude à résoudre.
1) Un p-Sylow S de G est pronormal dans G, pour tout x de G, xsx1
est un p-Sylow d'un
groupe qui le contient, donc de H = (S, xsx- 1 ); il est donc conjugué de S dans H, par le
second théorème de Sylow.
2) C'est pratiquement le même argument. Si S ::;:; K
= K. Si donc S est unp-Sylow de K, c'est aussi le cas de xsx1
et S et son conjugué
sont des p-Sylow de H = (S, xsx1 ) puisque ce groupe est inclus dans K. On continue
comme dans la première question.
www.bibliomath.com
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3.2.17 H agit sur ses conjugués par h.xH.x- 1 = hxH.x1
h1
• Dans cette action, H est seul
dans son orbite. Comme H est un p-groupe, l'équation des classes montre qu'il existe une
autre orbite à un seul élément, mettons g H g - 1 =/ H. Mais alors
'v'hEH, h g H g - 1 h1
= g H g - 1 =* g - 1 h g H g - 1 h1 g =H
prouve que tout élément de g - 1 H g normalise H. Il y a un conjugué inclus dans le normalisateur. Donc, si H n'est pas normal dans G, on a prouvé:
H
3.2.18 1) La fin de l'exercice précédent montre en effet que si H est maximal parmi les
sous-groupes de G, alors il est normal dans G. Le quotient G/H est alors un p-groupe
qui n'a pas de sous-groupe non trivial (sinon H ne serait pas maximal, cf le théorème
de correspondance), c'est donc un groupe cyclique à p éléments, et H est d'indice p. Ce
résultat est faux si G n'est pas un p-groupe, il suffit de prendre comme exemple un groupe
simple non commutatif.
2) Faisons un raisonnement par récurrence. Supposons que tout p-groupe de cardinal p
<
où
k < n vérifie la propriété. La récurrence est amorcée sans problème pour k = 1, et soit
G un groupe d'ordre p". Nous savons que le centre Z(G) est non trivial. Il contient un
élément x d'ordre p (parce qu'il est commutatif, mais on peut aussi utiliser le théorème de
Cauchy), et (x) sous-groupe du centre est normal dans G. On peut alors considérer G/ (x),
qui est différent de G, et lui appliquer l'hypothèse de récurrence. Cela (par le théorème
de correspondance) donne des sous-groupes normaux de tout ordre p
k
contenant (x) . En
ajoutant (x) lui-même, la propriété est démontrée.
3) Soit maintenant Kun sous-groupe strict d'un p-groupe G. Alors K est inclus dans un sousgroupe maximal Ko de G. On considère en effet l'ensemble des sous-groupes contenant
K, et l'on prend un de ceux qui ont le cardinal maximal. Ce sous-groupe est normal dans
G d'après l'exercice précédent, et d'indice p. Si ce n'est pas K, on recommence .. .
Dans les cas de 1Hl 8 , les chaînes de sous-groupes sont du type:
{e }
Dans le cas du groupe diédral ][)) g engendré par a d'ordre 4 et b d'ordre 2, il y a deux
types de chaînes :
{e }
)
, b)
conjugués. Mais cette idée est vague, et l'exercice est un peu rude à résoudre.
1) Un p-Sylow S de G est pronormal dans G, pour tout x de G, xsx1
est un p-Sylow d'un
groupe qui le contient, donc de H = (S, xsx- 1 ); il est donc conjugué de S dans H, par le
second théorème de Sylow.
2) C'est pratiquement le même argument. Si S ::;:; K
= K. Si donc S est unp-Sylow de K, c'est aussi le cas de xsx1
et S et son conjugué
sont des p-Sylow de H = (S, xsx1 ) puisque ce groupe est inclus dans K. On continue
comme dans la première question.
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