82
Th éorie des groupes
Mais alors x et y sont conjugués modulo N c H. Comme y E H, on en déduit que x E H.
3.2.14 Soit g quelconque dans G. On a g S g - i :;;; g N g - i = N, d'où la première affirmation.
Mais S étant un p-Sylow de N, g S g - i en est aussi un p-Sylow, et il existe n E N tel que
g S g - i = nsn- i . Or cette égalité équivaut à n-i g E N G (S) d'où le résultat :
G=N N' G (S)
3.2.1 5 1) JE est de cardinal n P - i , car les p - 1 premiers éléments de la liste (x i ,x 2 , • • • ,x p )
déterminent le dernier, X p = (x i ... X p - i )-i .
2) Z/p agit par :
k.(x 1 ,x2 , ... , x p ) = (xk+ i , Xk+2 , ... , Xk+ p )
avec la convention que les indices sont définis « modulo p ». C'est l'action naturelle de
(cr) où cr= (1, 2, ... ,p) est une permutation circulaire. Il faut néanmoins vérifier que l'on
a encore
Xk+1Xk+2 , , , Xk+ p = 1
Cela se voit facilement par récurrence :
X i X2,, ,X p = 1 =} X2X3,, , X i = 1
car x 1 est le symétrique de x2x3 ... X p , On peut également remarquer que tous ces éléments
sont conjugués. Une orbite aura un élément lorsque x 1 = x 2 = ... = X p = x. Un tel élément
x vérifie dont x" = e. Soit c'est e, soit c'est un élément d'ordre p, puisque p est premier. Si
x 1 -:/ x2, alors l'orbite a p éléments ; pour s'en convaincre, on peut voir que le stabilisateur
d'un élément est soit Z/p, soit { e} puisque p est premier.
3) La formule des classes s'écrit donc :
nP1
=r +ps
où r est le nombre des orbites à un élément, s celui des orbites à p éléments. Le nombre r
est multiple de p. Comme il est non nul (à cause de e), il est strictement plus grand que 1
et il y a au moins un élément d'ordre p.
4) Les hypothèses faites sur p assurent l'existence d'un p-Sylow. Dans ce p-Sylow, un élément différent du neutre engendre un groupe cyclique d'ordre une puissance de p qui
contient un élément d'ordre p; la démonstration est beaucoup plus simple, mais le théorème de Cauchy sert aussi de base à d'autres démonstrations des théorèmes de Sylow, d'où
l'intérêt de le démontrer indépendamment des théorèmes de Sylow.
3.2.16 Si le cardinal est une puissance de p, alors tout élément a pour ordre une puissance
de p, par le théorème de Lagrange. Réciproquement, si le cardinal de G contient un autre
facteur premier que p, mettons q, alors il existe un élément d'ordre q (théorème de Cauchy).
Donc G n'est pas un p-groupe.
Un p-groupe infini intéressant est le p-groupe de Prüfer, ensemble des racines p"-ièmes de
l'unité lorsque n parcourt N. Vo ir le second problème du chapitre 2. Un produit infini de pgroupes finis conviendra également, l'ensemble des suites à valeurs dans Z/2 est un 2-groupe
pour l'addition.
www.bibliomath.com
Th éorie des groupes
Mais alors x et y sont conjugués modulo N c H. Comme y E H, on en déduit que x E H.
3.2.14 Soit g quelconque dans G. On a g S g - i :;;; g N g - i = N, d'où la première affirmation.
Mais S étant un p-Sylow de N, g S g - i en est aussi un p-Sylow, et il existe n E N tel que
g S g - i = nsn- i . Or cette égalité équivaut à n-i g E N G (S) d'où le résultat :
G=N N' G (S)
3.2.1 5 1) JE est de cardinal n P - i , car les p - 1 premiers éléments de la liste (x i ,x 2 , • • • ,x p )
déterminent le dernier, X p = (x i ... X p - i )-i .
2) Z/p agit par :
k.(x 1 ,x2 , ... , x p ) = (xk+ i , Xk+2 , ... , Xk+ p )
avec la convention que les indices sont définis « modulo p ». C'est l'action naturelle de
(cr) où cr= (1, 2, ... ,p) est une permutation circulaire. Il faut néanmoins vérifier que l'on
a encore
Xk+1Xk+2 , , , Xk+ p = 1
Cela se voit facilement par récurrence :
X i X2,, ,X p = 1 =} X2X3,, , X i = 1
car x 1 est le symétrique de x2x3 ... X p , On peut également remarquer que tous ces éléments
sont conjugués. Une orbite aura un élément lorsque x 1 = x 2 = ... = X p = x. Un tel élément
x vérifie dont x" = e. Soit c'est e, soit c'est un élément d'ordre p, puisque p est premier. Si
x 1 -:/ x2, alors l'orbite a p éléments ; pour s'en convaincre, on peut voir que le stabilisateur
d'un élément est soit Z/p, soit { e} puisque p est premier.
3) La formule des classes s'écrit donc :
nP1
=r +ps
où r est le nombre des orbites à un élément, s celui des orbites à p éléments. Le nombre r
est multiple de p. Comme il est non nul (à cause de e), il est strictement plus grand que 1
et il y a au moins un élément d'ordre p.
4) Les hypothèses faites sur p assurent l'existence d'un p-Sylow. Dans ce p-Sylow, un élément différent du neutre engendre un groupe cyclique d'ordre une puissance de p qui
contient un élément d'ordre p; la démonstration est beaucoup plus simple, mais le théorème de Cauchy sert aussi de base à d'autres démonstrations des théorèmes de Sylow, d'où
l'intérêt de le démontrer indépendamment des théorèmes de Sylow.
3.2.16 Si le cardinal est une puissance de p, alors tout élément a pour ordre une puissance
de p, par le théorème de Lagrange. Réciproquement, si le cardinal de G contient un autre
facteur premier que p, mettons q, alors il existe un élément d'ordre q (théorème de Cauchy).
Donc G n'est pas un p-groupe.
Un p-groupe infini intéressant est le p-groupe de Prüfer, ensemble des racines p"-ièmes de
l'unité lorsque n parcourt N. Vo ir le second problème du chapitre 2. Un produit infini de pgroupes finis conviendra également, l'ensemble des suites à valeurs dans Z/2 est un 2-groupe
pour l'addition.
www.bibliomath.com