3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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à H; c'est ... normal, on a alors une action fidèle de G/H sur G/H qui est la translation à
gauche de ce groupe.
2) Soit:
K= nxHx- i
xEG
Alors y K y -
1
est égal à K car y 1--+ y x est une bijection de G, donc K N Vx E G, xNx1
= N � xHx1
et donc N est inclus dans l'intersection des conjugués de H
1
•
3) Nous ne traiterons pas les valeurs de n � 5. Cela se fait« à la main». Considérons l'action
de G sur G /H, on en déduit un morphisme de G dans le groupe symétrique de G /H qui
possède n éléments. Le noyau de cette action est normal dans G, et c'est aussi l'intersection
des conjugués de H ; il est donc inclus dans H, et ne peut être égal au groupe alterné qui
est d'indice 2 alors que H est d'indice n. D'après l'exercice précédent, ce ne peut être que
l'identité. On en déduit que G est isomorphe à un groupe symétrique d'un ensemble de n
éléments ... Mais H se présente alors comme un stabilisateur, celui de la classe de e. C'est
le stabilisateur d'un élément dans un groupe de permutation de n éléments. C'est donc
un groupe isomorphe à S,,_ 1, Pour terminer, il faut comprendre que H peut bien sûr être
déjà dans G le stabilisateur d'un point (il y a n tels groupes). Ce que nous avons montré
c'est que, dans tous les cas, H est isomorphe à S,, _ 1 • Cela dit ... il n'est pas sûr qu'il existe
beaucoup de sous-groupes d'indice n qui ne soient pas stabilisateur d'un élément. Nous
aurons l'occasion d'y revenir dans l'exercice 3.3.8.
3.2.12 On considère à nouveau l'action par translation de G sur G/H où H est d'indice p.
Alors le noyau de cette action est un sous-groupe N normal dans G et inclus dans H. Mais
alors G/N est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique S p , Comme l'indice de N
est aussi un diviseur du cardinal de G, ce ne peut-être que 1 ou p. Le cas 1 est exclu, car N
est inclus dans H. C'est donc que N = H, H est normal dans G. Rappelons que nous avons
déjà démontré (plus directement) que tout sous-groupe d'indice 2 dans G est normal dans G
(1.2.21).
3.2.13 Soit N le normalisateur dans G d'un p-Sylow S et soit g E G qui normalise N,
g N g - 1 = N. Considérons alors g S g - 1
• C'est un sous-groupe de N. Mais S est un p-Sylow de
G, donc un p-Sylow de N (puisque S � N � G); et, par définition du normalisateur, S est
normal dans N. Donc N ne contient qu'un seul p-Sylow et g S g -
1
= S ce qui prouve qu'en
fait g normalise aussi Set donc g EN. On a bien prouvé que N est son propre normalisateur.
Si S est autonormalisant, il est son propre normalisateur, et le nombre de ses conjugués est
maximum (il vaut 1
1 � 1
1 ). C'est, par exemple, le cas des 2-Sylow de S 4 ou de S5 •
Étudions maintenant le cas d'un sous-groupe H de G qui contient le normalisateur N du pSylow S. Soit x normalisant H. Alors, xsx1
est un p-Sylow de H, donc (théorème de Sylow),
conjugué de S dans H. Cela signifie qu'il existe y E H tel que:
xsx1
= y S y -
1
1. Ce plus grand sous-groupe normal de G inclus dans H se nomme en anglais le core de H, ce qui peut se
traduire par cœur.
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