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Théorie des groupes
terminé, sinon, il suffit de considérer (iJ)rr. Remarquons qu'ici n � 4 suffit, les doubles
transpositions ne forment qu'une classe dans Ai. Cette classe est d'ailleurs le sous-groupe
normal de Ai.
2) Soit H normal dans A s . A lors H est formé de classes de conjugaison. S'il contient un
élément d'ordre 5, il contient le sous-groupe engendré qui est un 5-Sylow. Mais alors il
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3) Par la première question, si H normal dans Jl contient un élément d'ordre 2, Il les contient
tous (ce sont les doubles transpositions, il y en a 15). Enfin, s'il contient des éléments
d'ordre 3, il les contient tous, cela fait 20. Mais, en ajoutant l'identité, on obtient comme
cardinaux possibles : 16, 21, 25, 36, 40, 45 qui ne sont pas des diviseurs de 60. Les seules
solutions sont H = { id} ou H = A s , A s est donc simple.
3.2.9 1) Il suffit d'écrire (a-ra1
)-r1
, le terme entre parenthèses est un conjugué de Tet est
donc dans H.
2) Remarquons que le choix proposé est possible, si l'on prend bien sûr T -:/ id. Prenons
a = (i, k,j). A lors :
O'(TO'- I T- l) = (i, k,j)(j, T(Î), T(k))
et donc seuls (i,j, k, -r(k ), -r(j)) sont transformés, ce qui fait au plus 5 éléments.
3) La permutation précédente, notée p, est donc (elle est paire), soit l'identité, soit un 3cycle, soit un 5-cycle, soit une double transposition. Si p était l'identité, on aurait (i,j, k) =
(-r(k),j, -r(j)) et donc k = -r(j) ce qui est exclu par hypothèse. Supposons que p soit un
3-cycle, H contient un 3-cycle ... Dans le cas où p = (a, b, c, d, e)
(a, b, c) p (a, b, c)1 p -
1
= (a, b, d)
et H contient aussi un 3-cycle. Enfin, si p = (a , b)(c, d)
(a, b, e) p (a, b, e)1 p -
1
= (a, e, b)
et H contient également un 3-cycle. Comme H est normal dans A,., il contient tous les 3cycles, (puisque, d'après l'exercice précédent, tous les 3-cycles sont conjugués dans A,.);
or les 3-cycles engendrent A,. (2.4. 10). H est donc égal à A,., et A,. est simple.
3.2.10 On est donc dans le cas où A,. est simple puisque n � 5. Soit H un sous-groupe
normal de S 11 • Alors H n A,. doit être un sous-groupe normal de A,. ; le conjugué d'un élément
pair de H est encore un élément pair de H. Si cette intersection est A,., alors H = A,., puisque
le groupe alterné est d'indice 2, et donc maximal, ou bien H n A, 1 = {id}. Mais dans ce cas,
H ne peut contenir que l'identité et des permutations impaires. Soit x une telle permutation.
A lors, si y en est une autre, xy E H est paire, donc est l'identité. Donc H ne peut contenir que
id, x, x1
, et l'on a forcément x = x1
car une permutation impaire ne peut pas être d'ordre
3. Mais alors, H normal implique que zxz1
E {id, x}, et si x était différent de id, il serait
dans le centre de S 11 ... qui est réduit à id. C'est terminé, S 11 ne contient, comme sous-groupe
normal, que les sous-groupes triviaux et le groupe alterné.
3.2.1 1 1) G agit donc par g.xH = gxH; et donc g est dans le noyau si, pour tout
x E G, gxH = xH, c'est-à-dire g E xHx- 1
• Le noyau de l'action est donc l'intersection des conjugués de H. Le cas particulier où H est normal dans G donne un noyau égal
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Théorie des groupes
terminé, sinon, il suffit de considérer (iJ)rr. Remarquons qu'ici n � 4 suffit, les doubles
transpositions ne forment qu'une classe dans Ai. Cette classe est d'ailleurs le sous-groupe
normal de Ai.
2) Soit H normal dans A s . A lors H est formé de classes de conjugaison. S'il contient un
élément d'ordre 5, il contient le sous-groupe engendré qui est un 5-Sylow. Mais alors il
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3) Par la première question, si H normal dans Jl contient un élément d'ordre 2, Il les contient
tous (ce sont les doubles transpositions, il y en a 15). Enfin, s'il contient des éléments
d'ordre 3, il les contient tous, cela fait 20. Mais, en ajoutant l'identité, on obtient comme
cardinaux possibles : 16, 21, 25, 36, 40, 45 qui ne sont pas des diviseurs de 60. Les seules
solutions sont H = { id} ou H = A s , A s est donc simple.
3.2.9 1) Il suffit d'écrire (a-ra1
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, le terme entre parenthèses est un conjugué de Tet est
donc dans H.
2) Remarquons que le choix proposé est possible, si l'on prend bien sûr T -:/ id. Prenons
a = (i, k,j). A lors :
O'(TO'- I T- l) = (i, k,j)(j, T(Î), T(k))
et donc seuls (i,j, k, -r(k ), -r(j)) sont transformés, ce qui fait au plus 5 éléments.
3) La permutation précédente, notée p, est donc (elle est paire), soit l'identité, soit un 3cycle, soit un 5-cycle, soit une double transposition. Si p était l'identité, on aurait (i,j, k) =
(-r(k),j, -r(j)) et donc k = -r(j) ce qui est exclu par hypothèse. Supposons que p soit un
3-cycle, H contient un 3-cycle ... Dans le cas où p = (a, b, c, d, e)
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et H contient aussi un 3-cycle. Enfin, si p = (a , b)(c, d)
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et H contient également un 3-cycle. Comme H est normal dans A,., il contient tous les 3cycles, (puisque, d'après l'exercice précédent, tous les 3-cycles sont conjugués dans A,.);
or les 3-cycles engendrent A,. (2.4. 10). H est donc égal à A,., et A,. est simple.
3.2.10 On est donc dans le cas où A,. est simple puisque n � 5. Soit H un sous-groupe
normal de S 11 • Alors H n A,. doit être un sous-groupe normal de A,. ; le conjugué d'un élément
pair de H est encore un élément pair de H. Si cette intersection est A,., alors H = A,., puisque
le groupe alterné est d'indice 2, et donc maximal, ou bien H n A, 1 = {id}. Mais dans ce cas,
H ne peut contenir que l'identité et des permutations impaires. Soit x une telle permutation.
A lors, si y en est une autre, xy E H est paire, donc est l'identité. Donc H ne peut contenir que
id, x, x1
, et l'on a forcément x = x1
car une permutation impaire ne peut pas être d'ordre
3. Mais alors, H normal implique que zxz1
E {id, x}, et si x était différent de id, il serait
dans le centre de S 11 ... qui est réduit à id. C'est terminé, S 11 ne contient, comme sous-groupe
normal, que les sous-groupes triviaux et le groupe alterné.
3.2.1 1 1) G agit donc par g.xH = gxH; et donc g est dans le noyau si, pour tout
x E G, gxH = xH, c'est-à-dire g E xHx- 1
• Le noyau de l'action est donc l'intersection des conjugués de H. Le cas particulier où H est normal dans G donne un noyau égal
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